\( \vec{u} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k} \) ও \( \vec{v} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k} \) এর অন্তর্ভুক্ত কোণ-

প্রথমে, আমাদের দুটি ভেক্টর:

\(\vec{u} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}\)

\(\vec{v} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}\)

এবং, ভেক্টরগুলোর মধ্যে অন্তর্ভুক্ত কোণের জন্য, আমরা নিচের সূত্র ব্যবহার করব:

\[ \cos \theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]

ধাপ 1: ভেক্টরগুলোর ডট প্রোডাক্ট নির্ণয়

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(3) + (1)(-2) + (-3)(-1) = 6 - 2 + 3 = 7 \)

ধাপ 2: ভেক্টরগুলোর মান ( Magnitude ) নির্ণয়

\[ |\vec{u}| = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \]

\[ |\vec{v}| = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \]

ধাপ 3: কোণের মান নির্ণয়

\[ \cos \theta = \dfrac{7}{\sqrt{14} \times \sqrt{14}} = \dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2} \]

অতএব,

\[ \theta = \cos^{-1} \left( \dfrac{1}{2} \right) = 60^\circ \]

অতএব, উভয় ভেক্টরের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত কোণ হলো 60°.