যদি y = secx হয় তবে y₂ + y এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: যদি \( y = \sec x \) হয় তবে \( y_2 + y \) এর মান কোনটি? সমাধান: ধরা যাক, \( y = \sec x \) তাহলে, \( y_2 = \frac{d^2 y}{dx^2} \) প্রথমে, \( y = \sec x \) এর প্রথম ডেরিভেটিভ: \[ \frac{dy}{dx} = \sec x \tan x \] দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ: \[ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\sec x \tan x) \] প্রয়োগ করো প্রোডাক্ট রুল: \[ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\sec x) \cdot \tan x + \sec x \cdot \frac{d}{dx} (\tan x) \] তাই, \[ \frac{d}{dx} (\sec x) = \sec x \tan x \] আবার, \[ \frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x \] অতএব, \[ y_2 = \sec x \tan x \cdot \tan x + \sec x \cdot \sec^2 x \] \[ y_2 = \sec x \tan^2 x + \sec^3 x \] প্রত্যক্ষভাবে, \( y = \sec x \), তাই: \[ y_2 = y \tan^2 x + y^3 \] অর্থাৎ, \[ y_2 + y = y \tan^2 x + y^3 + y \] প্রস্তুত করি: \[ y_2 + y = y (\tan^2 x + 1) + y^3 \] এবং, জানি, \[ \sec^2 x = 1 + \tan^2 x \] অতএব, \[ \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \] তাই, \[ y_2 + y = y \sec^2 x + y^3 \] এবং, \( y = \sec x \): \[ y_2 + y = \sec x \cdot \sec^2 x + (\sec x)^3 \] \[ = \sec^3 x + \sec^3 x \] \[ = 2 \sec^3 x \] অর্থাৎ, \[ \boxed{y_2 + y = 2 y^3} \]