y = 1/x হলে y_n এর মান কত ? 

Explanation:

Another Explanation (5): y = \(\frac{1}{x}\) হলে \(y_n\) এর মান নির্ণয়: প্রথমে কয়েকটি অন্তরকলজ বের করি: \(y = \frac{1}{x} = x^{-1}\) \(y_1 = \frac{dy}{dx} = -1 \cdot x^{-2} = \frac{-1}{x^2}\) \(y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = (-1)(-2) x^{-3} = \frac{2}{x^3}\) \(y_3 = \frac{d^3y}{dx^3} = (-1)(-2)(-3) x^{-4} = \frac{-6}{x^4}\) \(y_4 = \frac{d^4y}{dx^4} = (-1)(-2)(-3)(-4) x^{-5} = \frac{24}{x^5}\) আমরা একটি প্যাটার্ন দেখতে পাচ্ছি: \(y_n = \frac{(-1)^n \cdot n!}{x^{n+1}}\) 🎉 গাণিতিক আরোহ (Mathematical Induction) দ্বারা প্রমাণ: ধরি, \(y_n = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\) সত্য। এখন, \(y_{n+1}\) বের করি: \(y_{n+1} = \frac{d}{dx} (y_n) = \frac{d}{dx} \left( \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}} \right)\) \(y_{n+1} = (-1)^n n! \frac{d}{dx} (x^{-(n+1)})\) \(y_{n+1} = (-1)^n n! (-(n+1)) x^{-(n+1)-1}\) \(y_{n+1} = (-1)^n n! (-(n+1)) x^{-(n+2)}\) \(y_{n+1} = (-1)^{n+1} (n+1)! x^{-(n+2)}\) \(y_{n+1} = \frac{(-1)^{n+1} (n+1)!}{x^{n+2}}\) 🥳 সুতরাং, গাণিতিক আরোহের নীতি অনুসারে, \(y_n = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\) সকল \(n\) এর জন্য সত্য। অতএব, \(y_n = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\) 💯