[(-1,0),(-1/2,1)] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স কোনটি?

প্রথমে, আমাদের দেওয়া ম্যাট্রিক্সটি হলো:

A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}

আমরা এই ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স (বিপরীত) ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করব।

ধাপ ১: ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয়

ডিটারমিন্যান্ট \( \det(A) \) হিসাব করি:

\det(A) = (-1) \times 1 - 0 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 - 0 = -1

যেহেতু ডিটারমিন্যান্ট শূন্য নয়, ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স আছে।

ধাপ ২: কনজুগেট ম্যাট্রিক্স (adjugate matrix) নির্ণয়

ম্যাট্রিক্সের অপ্রধান উপাদানগুলো পরিবর্তন করে, এবং প্রতিটি উপাদানের চিহ্ন পরিবর্তন করি।

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}

1. অপ্রধান উপাদানগুলো হলো \(a = -1\), \(b = 0\), \(c = -\frac{1}{2}\), \(d = 1\)
2. adjugate ম্যাট্রিক্স: \[ \operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix} \]

ধাপ ৩: ইনভার্স ম্যাট্রিক্স নির্ণয়

ফর্মুলা অনুযায়ী: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \times \operatorname{adj}(A) \]

অর্থাৎ: \[ A^{-1} = \frac{1}{-1} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix} = -1 \times \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix} \]

অতএব:

A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}

সুতরাং, বিপরীত ম্যাট্রিক্স হলো:

[(-1, 0), (-1/2, 1)]