sinθ+cosθ=√2 হলে, θ=?

প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2 হলে, θ = ?

সমাধান:

আমরা জানি, \( sinθ + cosθ = √2 \)

উভয় পক্ষকে \( \frac{1}{√2} \) দ্বারা গুণ করে পাই,

\( \frac{1}{√2}sinθ + \frac{1}{√2}cosθ = \frac{√2}{√2} \)

\( \frac{1}{√2}sinθ + \frac{1}{√2}cosθ = 1 \)

আমরা জানি, \( sin(\frac{π}{4}) = \frac{1}{√2} \) এবং \( cos(\frac{π}{4}) = \frac{1}{√2} \)

সুতরাং, \( sinθcos(\frac{π}{4}) + cosθsin(\frac{π}{4}) = 1 \)

আমরা জানি, \( sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB \)

সুতরাং, \( sin(θ + \frac{π}{4}) = 1 \)

আমরা জানি, \( sin(\frac{π}{2}) = 1 \)

সুতরাং, \( sin(θ + \frac{π}{4}) = sin(\frac{π}{2}) \)

আমরা জানি, \( sinθ = sinα \) হলে, \( θ = nπ + (-1)^nα \), যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা।

সুতরাং, \( θ + \frac{π}{4} = nπ + (-1)^n\frac{π}{2} \)

\( θ = nπ + (-1)^n\frac{π}{2} - \frac{π}{4} \)

যদি n জোড় সংখ্যা হয়, ধরি n = 2k, যেখানে k একটি পূর্ণসংখ্যা।

\( θ = 2kπ + \frac{π}{2} - \frac{π}{4} \)

\( θ = 2kπ + \frac{π}{4} \)

যদি n বিজোড় সংখ্যা হয়, ধরি n = 2k + 1, যেখানে k একটি পূর্ণসংখ্যা।

\( θ = (2k + 1)π - \frac{π}{2} - \frac{π}{4} \)

\( θ = 2kπ + π - \frac{3π}{4} \)

\( θ = 2kπ + \frac{π}{4} \)

সুতরাং উভয় ক্ষেত্রেই, \( θ = 2kπ + \frac{π}{4} \), যেখানে k একটি পূর্ণসংখ্যা।

অতএব, \( θ = 2nπ + \frac{π}{4} \) 🎉