\( 3y = 4(x - 3) \) এবং \( 3y = 4(x - 1) \) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব কত?

প্রথমে, দুটি রেখার সমীকরণ দেওয়া হয়েছে:

\( 3y = 4(x - 3) \)  --- (1)
\( 3y = 4(x - 1) \)  --- (2)

এখন, এগুলিকে সাধারণ রৈখিক সমীকরণে রূপান্তর করি:

(1) \( 3y = 4x - 12 \)  →  \( 4x - 3y = 12 \)
(2) \( 3y = 4x - 4 \)   →  \( 4x - 3y = 4 \)

এখন, রেখাদ্বয় সমান সমীকরণে আছে, তবে ভিন্ন মানের জন্য।

এখন, এই দুই রেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব নির্ণয় করতে, প্রথমে রেখাদ্বয়ের সমীকরণগুলো থেকে নির্দেশক বিন্দু নির্ণয় করি।

আমাদের লক্ষ্য হলো, এই দুই রেখার মধ্যবর্তী লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা।

যেহেতু, রেখাদ্বয় সমান্তরাল (কারণ উভয় রেখার সমীকরণে সমান কোঅর্ডিনেটের গুণফল ও স্বাধীনতা আছে), তাই এদের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করব।

এই দুই রেখার মধ্যে দূরত্ব (d) নির্ণয় করার জন্য, দুই রেখার সমীকরণ থেকে দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করি।

প্রতিটি রেখার সমীকরণ হল:

\( 4x - 3y = c \)

রেখা দুটি সমান্তরাল, কারণ তাদের সমীকরণের মান একে অপরের সমান।

নির্ণয় করব দূরত্বের সূত্র দিয়ে:

\( d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

এখানে, \( A = 4 \), \( B = -3 \), এবং \( c_1 = 12 \), \( c_2 = 4 \)।

অর্থাৎ:

\( d = \frac{|4 - 12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{8}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{8}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5} \)

অতএব, রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্বের দূরত্ব হল \(\boxed{\frac{8}{5}}\)।