\( \sin^{-1} \left( \frac{2a}{1 + a^2} \right) - \cos^{-1} \left( \frac{1 - b^2}{1 + b^2} \right) = 2 \tan^{-1}(x) \) হলে, x এর মান-

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: \[ \sin^{-1} \left( \frac{2a}{1 + a^2} \right) - \cos^{-1} \left( \frac{1 - b^2}{1 + b^2} \right) = 2 \tan^{-1}(x) \] আমাদের লক্ষ্য হলো \(x\) এর মান নির্ণয় করা। --- প্রথমে, উপাদান দুটি আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করি। ### ধাপ ১: \(\sin^{-1} \left( \frac{2a}{1 + a^2} \right)\) এর মান নির্ণয় আমরা জানি, \[ \sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \] এবং, \[ \sin^{-1} \left( \frac{2a}{1 + a^2} \right) = 2 \tan^{-1}(a) \] কারণ, \(\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\), তাই: \[ \sin^{-1} \left( \frac{2a}{1 + a^2} \right) = 2 \tan^{-1}(a) \] --- ### ধাপ ২: \(\cos^{-1} \left( \frac{1 - b^2}{1 + b^2} \right)\) এর মান নির্ণয় আমরা জানি, \[ \cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \] অর্থাৎ, \[ \cos 2\theta = \frac{1 - b^2}{1 + b^2} \] এখানে, \(\theta = \tan^{-1}(b)\), তাই, \[ \cos^{-1} \left( \frac{1 - b^2}{1 + b^2} \right) = 2 \tan^{-1}(b) \] --- ### ধাপ ৩: মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন অতএব, মূল সমীকরণটি হয়: \[ 2 \tan^{-1}(a) - 2 \tan^{-1}(b) = 2 \tan^{-1}(x) \] দুটি পাশ ভাগ করি ২ দ্বারা: \[ \tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}(x) \] ### ধাপ ৪: \(\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b)\) এর মান আমরা জানি, \[ \arctan A - \arctan B = \arctan \left( \frac{A - B}{1 + AB} \right) \] অতএব, \[ \boxed{ x = \frac{a - b}{1 + ab} } \] --- **উত্তর:** \[ \boxed{ x = \frac{a - b}{1 + ab} } \]