ɑ সূক্ষকোণ হলে xcosɑ+ysinɑ=5 এবং 4x+3y=5 সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত একক?

Another Explanation (5): bài này cần đáp ứng các yêu cầu sau: * Giải thích chi tiết các bước giải. * Sử dụng \(\LaTeX\) để trình bày các công thức toán học. * Sử dụng mã HTML để trình bày bài giải. * Không sử dụng các thẻ <style>, <head>, <html>. * Có thể sử dụng emoji. Ta có phương trình đường thẳng \(x\cos\alpha + y\sin\alpha = 5\) và \(4x + 3y = 5\). Vì hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa chúng có thể được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong đó, phương trình đường thẳng có dạng \(ax + by + c = 0\). Để sử dụng công thức trên, ta cần đưa hai phương trình về cùng dạng. Phương trình thứ nhất: \(x\cos\alpha + y\sin\alpha - 5 = 0\). Phương trình thứ hai: \(4x + 3y - 5 = 0\). Vì hai đường thẳng song song, ta có: \[ \frac{\cos\alpha}{4} = \frac{\sin\alpha}{3} = k \] Suy ra, \(\cos\alpha = 4k\) và \(\sin\alpha = 3k\). Vì \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), ta có: \[ (4k)^2 + (3k)^2 = 1 \\ 16k^2 + 9k^2 = 1 \\ 25k^2 = 1 \\ k^2 = \frac{1}{25} \\ k = \pm\frac{1}{5} \] Vì \(\alpha\) là góc nhọn, \(\sin\alpha > 0\) và \(\cos\alpha > 0\), nên \(k = \frac{1}{5}\). Vậy, \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\) và \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\). Thay vào phương trình thứ nhất: \[ x\left(\frac{4}{5}\right) + y\left(\frac{3}{5}\right) = 5 \\ 4x + 3y = 25 \] Vậy phương trình thứ nhất trở thành \(4x + 3y - 25 = 0\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(4x + 3y - 25 = 0\) và \(4x + 3y - 5 = 0\) là: \[ d = \frac{|-25 - (-5)|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-20|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{20}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4 \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng là 4 đơn vị. 🎉