Explanation: Solve:
\[
A\left(5\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right) \, \text{এর কার্টেসীয় স্থানাঙ্ক} = (5\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}, 5\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}) = (5, 5)
\]
\[
B(5\sqrt{2}, 0) \, \text{এর কার্টেসীয় স্থানাঙ্ক} = (5\sqrt{2}\cos 0, 5\sqrt{2}\sin 0) = (5\sqrt{2}, 0)
\]
\[
\therefore \text{AB এর মধ্যবিন্দু} = D\left(\frac{5 + 5\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 0}{2}\right)
\]
\[
D \, \text{এর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয়:} \, r = \sqrt{\left(\frac{5 + 5\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2}
\]
\[
= \sqrt{\frac{25 + 50\sqrt{2} + 50}{4} + \frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{100 + 50\sqrt{2}}}{2}
\]
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5 + 5\sqrt{2}}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{5}{5 + 5\sqrt{2}}\right)
\]
Ans. \(\left(\frac{\sqrt{100 + 50\sqrt{2}}}{2}, \tan^{-1}\left(\frac{5}{5 + 5\sqrt{2}}\right)\right)\)
Another Explanation (5): ```html
প্রশ্ন: A ও B বিন্দু দুটির পোলার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( (5\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}) \) এবং \( (5\sqrt{2}, 0) \)। D, AB এর মধ্যবিন্দু। D এর পোলার স্থানাঙ্ক কত? 🤔
সমাধান:
ধাপ ১: A ও B বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় 📍
\( A \) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \( (r, \theta) = (5\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}) \)
অতএব, \( A \) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (x_1, y_1) \) হবে:
\( x_1 = r \cos{\theta} = 5\sqrt{2} \cos{\frac{\pi}{4}} = 5\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5 \)
\( y_1 = r \sin{\theta} = 5\sqrt{2} \sin{\frac{\pi}{4}} = 5\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5 \)
সুতরাং, \( A \) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (5, 5) \) 🤩
অনুরূপভাবে, \( B \) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \( (r, \theta) = (5\sqrt{2}, 0) \)
অতএব, \( B \) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (x_2, y_2) \) হবে:
\( x_2 = r \cos{\theta} = 5\sqrt{2} \cos{0} = 5\sqrt{2} \times 1 = 5\sqrt{2} \)
\( y_2 = r \sin{\theta} = 5\sqrt{2} \sin{0} = 5\sqrt{2} \times 0 = 0 \)
সুতরাং, \( B \) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (5\sqrt{2}, 0) \) 😎
ধাপ ২: D বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় ➕
D বিন্দুটি AB এর মধ্যবিন্দু। সুতরাং, D বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (x, y) \) হবে:
\( x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{5 + 5\sqrt{2}}{2} \)
\( y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{5 + 0}{2} = \frac{5}{2} \)
সুতরাং, D বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (\frac{5 + 5\sqrt{2}}{2}, \frac{5}{2}) \) 🤓
ধাপ ৩: D বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় 💫
D বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \( (r, \theta) \) নির্ণয়ের জন্য:
\( r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{5 + 5\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2} \)
\( r = \sqrt{\frac{25(1 + \sqrt{2})^2}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{25(1 + 2\sqrt{2} + 2) + 25}{4}} \)
\( r = \sqrt{\frac{25(3 + 2\sqrt{2}) + 25}{4}} = \sqrt{\frac{75 + 50\sqrt{2} + 25}{4}} = \sqrt{\frac{100 + 50\sqrt{2}}{4}} \)
\( r = \sqrt{\frac{50(2 + \sqrt{2})}{4}} = \sqrt{\frac{25(2 + \sqrt{2})}{2}} = 5\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \)
\( \theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{5/2}{(5 + 5\sqrt{2})/2}) = \tan^{-1}(\frac{5}{5 + 5\sqrt{2}}) \)
\( \theta = \tan^{-1}(\frac{1}{1 + \sqrt{2}}) = \tan^{-1}(\frac{1}{1 + \sqrt{2}} \times \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}) = \tan^{-1}(\frac{1 - \sqrt{2}}{1 - 2}) \)
\( \theta = \tan^{-1}(\frac{1 - \sqrt{2}}{-1}) = \tan^{-1}(\sqrt{2} - 1) \)
D বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \( (5\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}, \tan^{-1}(\sqrt{2} - 1)) \) ✨
```
