কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((-1, \sqrt{3})\) হলে ঐ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক কোনটি?

সমাধান:

প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক: \((-1, \sqrt{3})\)

পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\) নির্ণয় করতে হবে যেখানে:

• \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
• \(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\)

ধাপ ১: রেডিয়াল দূরত্ব \(r\) নির্ণয়:

\(x = -1\), \(y = \sqrt{3}\)

\(r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\)

ধাপ ২: কোণের মান \(\theta\) নির্ণয়:

\(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)\)

\(\theta = \tan^{-1}(-\sqrt{3})\)

এখানে, \(\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -60^\circ\) বা \(-\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান।

যেহেতু, \(x < 0\) এবং \(y > 0\), তাহলে বিন্দুটি দ্বিতীয় কোণে অবস্থিত। তাই, কোণটি আনোয়ানভাবে পরিবর্তন করে 180° যোগ করি:

\(\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)

অতএব:

পোলার স্থানাঙ্ক: \(\boxed{(2, 120^\circ)}\)