D=|(logx,logy,logz),(log3x,log3y,log3z),(log5x,log5y,log5z)|=?

নির্ণায়কটি হলো: \( D=\begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ \log 3x & \log 3y & \log 3z \\ \log 5x & \log 5y & \log 5z \end{vmatrix} \)

আমরা জানি, \(\log ab = \log a + \log b\). সুতরাং,

\( D=\begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ \log 3 + \log x & \log 3 + \log y & \log 3 + \log z \\ \log 5 + \log x & \log 5 + \log y & \log 5 + \log z \end{vmatrix} \)

এখন, দ্বিতীয় সারি থেকে প্রথম সারি বিয়োগ করে এবং তৃতীয় সারি থেকে প্রথম সারি বিয়োগ করে পাই:

\( D=\begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ \log 3 & \log 3 & \log 3 \\ \log 5 & \log 5 & \log 5 \end{vmatrix} \)

যেহেতু নির্ণায়কের দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সারির উপাদানগুলো সমানুপাতিক (proportional), তাই নির্ণায়কের মান শূন্য হবে। কারণ \(\frac{\log 3}{\log 5} = \frac{\log 3}{\log 5} = \frac{\log 3}{\log 5}\) 🥳🥳🥳

অথবা, আমরা বলতে পারি, দ্বিতীয় সারি থেকে \(\log 3\) কমন নিয়ে এবং তৃতীয় সারি থেকে \(\log 5\) কমন নিয়ে পাই:

\( D = (\log 3)(\log 5) \begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \)

যেহেতু এই নির্ণায়কের দুটি সারি একই, তাই নির্ণায়কের মান শূন্য। 😎😎😎 অতএব, \(D = (\log 3)(\log 5) \cdot 0 = 0\).

সুতরাং, \(D = 0\). 🎉🎉🎉