r=4acosecθ cotθ পোলার সমীকরণটিকে কার্টেজীয় সমীকরণে রূপান্তরিত করলে কোনটি হবে?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( r = 4a \csc \theta \cot \theta \) পোলার সমীকরণটিকে কার্টেজীয় সমীকরণে রূপান্তরিত করো। **সমাধান:** প্রথমে, পোলার থেকে কার্টেজ সমীকরণে রূপান্তর করার জন্য নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলো ব্যবহার করব: \[ x = r \cos \theta \] \[ y = r \sin \theta \] \[ r^2 = x^2 + y^2 \] \[ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \] \[ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \] প্রদত্ত সমীকরণ: \[ r = 4a \csc \theta \cot \theta \] এখন, উপরের সমীকরণে \(\csc \theta\) ও \(\cot \theta\) এর মান বসাবো: \[ r = 4a \times \frac{1}{\sin \theta} \times \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 4a \times \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \] অর্থাৎ, \[ r = 4a \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \] দুটি পক্ষকে \(\sin^2 \theta\) দিয়ে গুণ করলে: \[ r \sin^2 \theta = 4a \cos \theta \] এখানে, \(\sin \theta = \frac{y}{r}\) ও \(\cos \theta = \frac{x}{r}\), তাই: \[ r \left(\frac{y}{r}\right)^2 = 4a \times \frac{x}{r} \] সরলীকরণ করলে: \[ r \times \frac{y^2}{r^2} = \frac{4a x}{r} \] \[ \frac{y^2}{r} = \frac{4a x}{r} \] উভয় পক্ষ থেকে \(r\) দ্বারা গুণ করলে: \[ y^2 = 4a x \] **অতএব, কার্টেজ সমীকরণ হলো:** \[ \boxed{ y^2 = 4 a x } \]