পোলার স্থা??াঙ্কে (5,π/4) কেন্দ্র ও 2 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?

Explanation:

Another Explanation (5): পোলার স্থানাঙ্কে \((5, \frac{\pi}{4})\) কেন্দ্র ও 2 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়: ধরি, বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো একটি বিন্দু \((r, \theta)\)। কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে এই বিন্দুটি হবে \((x, y)\), যেখানে \(x = r\cos\theta\) এবং \(y = r\sin\theta\)। কেন্দ্র \((5, \frac{\pi}{4})\) এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক হবে: \[x_0 = 5\cos(\frac{\pi}{4}) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}\] \[y_0 = 5\sin(\frac{\pi}{4}) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}\] সুতরাং, কেন্দ্র \((\frac{5}{\sqrt{2}}, \frac{5}{\sqrt{2}})\)। বৃত্তের সমীকরণ: \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = a^2\) যেখানে \(a\) হলো ব্যাসার্ধ। এখানে \(a = 2\)। মান বসিয়ে পাই, \[(x - \frac{5}{\sqrt{2}})^2 + (y - \frac{5}{\sqrt{2}})^2 = 2^2\] \[x^2 - \frac{10x}{\sqrt{2}} + \frac{25}{2} + y^2 - \frac{10y}{\sqrt{2}} + \frac{25}{2} = 4\] \[x^2 + y^2 - 5\sqrt{2}x - 5\sqrt{2}y + 25 = 4\] \[x^2 + y^2 - 5\sqrt{2}x - 5\sqrt{2}y + 21 = 0\] পোলার স্থানাঙ্কে পরিবর্তনের জন্য \(x = r\cos\theta\) এবং \(y = r\sin\theta\) এবং \(x^2 + y^2 = r^2\) বসিয়ে পাই, \[r^2 - 5\sqrt{2}r\cos\theta - 5\sqrt{2}r\sin\theta + 21 = 0\] \[r^2 - 5\sqrt{2}(\cos\theta + \sin\theta)r + 21 = 0\] সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণ: \(r^2 - 5\sqrt{2}(\cos\theta + \sin\theta)r + 21 = 0\) 🥳