কোনো বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক  (-1, sqrt3)  হলে, ঐ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নিচের কোনটি? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: কোনো বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (x, y) = (-1, \sqrt{3}) \) হলে, ঐ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। প্রথমে, পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\) নির্ণয় করতে হবে যেখানে: \[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \] \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \] **ধাপ 1: রেডিয়াস \( r \) নির্ণয়:** \[ r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] **ধাপ 2: কোণ \( \theta \) নির্ণয়:** যেহেতু \( x = -1 \) (ঋণাত্মক) এবং \( y = \sqrt{3} \) (ধনাত্মক), তাহলে বিন্দুটি দ্বিতীয় কোয়ার্টারে অবস্থিত। \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \] কিন্তু, দ্বিতীয় কোয়ার্টারে কোণের মান: \[ \theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \] অথবা, সমান্য পরিবর্তনের জন্য: \[ \theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi \] **উপসংহার:** পোলার স্থানাঙ্ক হলো: \[ (r, \theta) = \left( 2, \frac{2\pi}{3} + 2n\pi \right) \] অথবা, সমান অর্থে, \[ \boxed{ (2, \frac{4\pi}{3} \pm 2n\pi) } \] কারণ, \(\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}\), এবং মূল কোণের মান হিসেবে উপযুক্ত বিকল্পগুলি হলো \(\frac{4\pi}{3}\) (অর্থাৎ, \(240^\circ\))। সুতরাং, পোলার স্থানাঙ্ক: \[ \boxed{ (2, \frac{4\pi}{3} \pm 2n\pi) } \]