x²=1+2y কে পোলার সমীকরণে প্রকাশ কর।

প্রশ্ন: \(x^2 = 1 + 2y\) কে পোলার সমীকরণে প্রকাশ করো।

আমরা জানি, কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) এবং পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\) এর মধ্যে সম্পর্ক:

• \(x = r \cos{\theta}\)
• \(y = r \sin{\theta}\)

প্রদত্ত সমীকরণ: \(x^2 = 1 + 2y\)

\(x\) এবং \(y\) এর মান বসিয়ে পাই:

\((r \cos{\theta})^2 = 1 + 2(r \sin{\theta})\)

\(r^2 \cos^2{\theta} = 1 + 2r \sin{\theta}\)

এখন, \( \cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta} \) বসালে,

\(r^2 (1 - \sin^2{\theta}) = 1 + 2r \sin{\theta}\)

\(r^2 - r^2 \sin^2{\theta} = 1 + 2r \sin{\theta}\)

\(r^2 - 2r \sin{\theta} - r^2 \sin^2{\theta} - 1 = 0\)

এই সমীকরণটিকে \(r\) এর সাপেক্ষে দ্বিঘাত সমীকরণ হিসেবে লেখা যায়:

\(r^2(1 - \sin^2{\theta}) - 2r \sin{\theta} - 1 = 0\)

\(r^2 \cos^2{\theta} - 2r \sin{\theta} - 1 = 0\)

অথবা,

\(x^2=1+2y\)

\(\implies (rcos\theta)^2 = 1+2rsin\theta\)

\(\implies r^2cos^2\theta = 1+2rsin\theta\)

\(\implies r^2(1-sin^2\theta) = 1+2rsin\theta\)

\(\implies r^2-r^2sin^2\theta = 1+2rsin\theta\)

\(\implies r^2-2rsin\theta-1 = r^2sin^2\theta\)

এখন যদি উত্তরটি \(r(1-sin\theta)=1\) হয় তবে,

\(r = \frac{1}{1-sin\theta}\)

\(\implies x^2=1+2y \equiv r=\frac{1}{1-sin\theta}\)

অন্যভাবে,

\(r - rsin\theta = 1\)

\(\implies r = 1+rsin\theta\)

\(\implies r = 1+y\)

\(\implies r^2 = (1+y)^2\)

\(\implies x^2+y^2 = 1+2y+y^2\)

\(\implies x^2 = 1+2y\) যা প্রদত্ত সমীকরণ। 🥳

সুতরাং, \(x^2 = 1 + 2y\) এর পোলার সমীকরণ \(r(1 - \sin{\theta}) = 1\)। 🎉