কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (3,√3) হলে ঐ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক কত?

Explanation: Hints: \((x, y)\) কার্তেসীয় স্থানাঙ্কবিশিষ্ট বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\); যেখানে \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) এবং \(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\) Solve: \(r = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) \(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 30^\circ\) Ans. (B) ব্যাখ্যা: এখানে পোলার স্থানাঙ্ক নির্ধারণ প্রথমে মডুলাসের মান (\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)) বের করা হয়েছে। এরপর প্রথম কোয়ার্ডেন্টে হওয়ায় \(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\) সূত্র দিয়ে আর্গুমেন্টের মান বের করা হয়েছে। \((x, y)\) আকারের স্থানাঙ্কে \(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\) \((-x, y)\) আকারের স্থানাঙ্কে \(\theta = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{y}{-x}\right|\) \((-x, -y)\) আকারের স্থানাঙ্কে \(\theta = \tan^{-1}\left|\frac{-y}{-x}\right| \pm \pi\) \((x, -y)\) আকারের স্থানাঙ্কে \(\theta = -\tan^{-1}\left|\frac{-y}{x}\right|\) By Calculator: MS Calculator: ক্যালকুলেটরে প্রথমে COMPLEX মোডে যাও। এজন্য MODE থেকে 2 সিলেক্ট করো। এরপর ব্র্যাকেটে \(3 + \sqrt{3}i\) ইনপুট দিয়ে নিচের ধাপগুলি Follow করো: \( (3 + \sqrt{3}i) \to \text{SHIFT} \to + \to = \) Equal চাপার চাপে পর মান আসবে 3.4641 অর্থাৎ \(2\sqrt{3}\), যেটা হচ্ছে \(r\) এর মান। এরপর \(\text{SHIFT} \to =\) চাপলে আসবে \(<30\), যেটা হচ্ছে \(\theta\)।

Another Explanation (5): দেও???া আছে, কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (x, y) = (3, \sqrt{3}) \) পোলার স্থানাঙ্ক \( (r, \theta) \) নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি, \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) এবং \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \) এখানে, \( x = 3 \) এবং \( y = \sqrt{3} \) তাহলে, \( r = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) এবং \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ \) অতএব, পোলার স্থানাঙ্ক \( (2\sqrt{3}, 30^\circ) \)। 🎉