tanβ = q/p হলে cos2β এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: যদি \(\tan \beta = \frac{q}{p}\) হয়, তাহলে \(\cos 2\beta\) এর মান কত? সমাধান: প্রথমে, আমাদের জানা দরকার যে, \[ \tan \beta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{q}{p} \] এখন, \(\sin \beta\) এবং \(\cos \beta\) নির্ণয় করি: \[ \sin \beta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \beta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \] এখানে, হাইপোটেনিউজের মান: \[ r = \sqrt{p^2 + q^2} \] অতএব, \[ \sin \beta = \frac{q}{r} = \frac{q}{\sqrt{p^2 + q^2}} \] \[ \cos \beta = \frac{p}{r} = \frac{p}{\sqrt{p^2 + q^2}} \] এখন, \( \cos 2\beta \) এর সূত্র: \[ \cos 2\beta = \cos^2 \beta - \sin^2 \beta \] এখানে, উপরের মানগুলো বসিয়ে দিই: \[ \cos 2\beta = \left( \frac{p}{r} \right)^2 - \left( \frac{q}{r} \right)^2 \] \[ = \frac{p^2}{r^2} - \frac{q^2}{r^2} = \frac{p^2 - q^2}{r^2} \] অর্থাৎ, \[ \boxed{ \cos 2\beta = \frac{p^2 - q^2}{p^2 + q^2} } \]