f(x)=sqrt(x^2-2x+5)ফাংশনটির ডোমেন -

প্রশ্ন: \( f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5} \) ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

সমাধান:

আমরা জানি, \( \sqrt{g(x)} \) ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে যদি \( g(x) \ge 0 \) হয়। এখানে, \( f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5} \) এর জন্য, আমাদের \( x^2 - 2x + 5 \ge 0 \) হতে হবে।

এখন, \( x^2 - 2x + 5 \) রাশিটিকে আমরা এভাবে লিখতে পারি: \[ x^2 - 2x + 5 = x^2 - 2x + 1 + 4 = (x - 1)^2 + 4 \]

যেহেতু \( (x - 1)^2 \) একটি পূর্ণবর্গ রাশি, তাই এর মান সবসময় অঋণাত্মক হবে, অর্থাৎ \( (x - 1)^2 \ge 0 \)। সুতরাং, \( (x - 1)^2 + 4 \ge 4 \)। এর মানে হলো \( x \) এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য \( (x - 1)^2 + 4 \) এর মান সবসময় \( 0 \) থেকে বড় হবে।

অতএব, \( x^2 - 2x + 5 \ge 0 \) সকল \( x \in \mathbb{R} \) এর জন্য সত্য। সুতরাং, ফাংশনটির ডোমেন হলো সকল বাস্তব সংখ্যার সেট।

ডোমেন: \( (-\infty, \infty) \) 🎉

অন্যভাবে, যেহেতু \( x^2 - 2x + 5 \) একটি দ্বিঘাত রাশি এবং এর \( x^2 \) এর সহগ (coefficient) ধনাত্মক (positive), তাই এই রাশিটির সর্বনিম্ন মান আছে। এখন আমরা দেখি এর মান ঋণাত্মক হয় কিনা। আমরা রাশিটিকে লিখতে পারি, \( x^2 - 2x + 5 = (x-1)^2 + 4 \)। যেহেতু \( (x-1)^2 \ge 0 \), তাই \( (x-1)^2 + 4 \ge 4 > 0 \)। তার মানে \( x \) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \( x^2 - 2x + 5 \) ঋণাত্মক হবে না। সুতরাং, \( f(x) \) এর ডোমেন \( (-\infty, \infty) \) 🥳।