\( f(x) = \sqrt{\ln(1-x)} \) ফাংশনের ডোমেইন কত?

ফাংশনটির ডোমেইন নির্ণয়: \( f(x) = \sqrt{\ln(1-x)} \)

ডোমেইন হলো \(x\) এর সেই সকল মান, যেগুলোর জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত। এখানে আমাদের দুটি শর্ত বিবেচনা করতে হবে:

1. লগারিদম এর ভিতরের অংশ \( (1-x) \) অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে। অর্থাৎ, \( 1-x > 0 \) হতে হবে।
   সুতরাং, \( 1 > x \) বা \( x < 1 \)
   এটিকে আমরা লিখতে পারি: \( x \in (-\infty, 1) \)
2. বর্গমূলের ভিতরের অংশ \( \ln(1-x) \) অবশ্যই অঋণাত্মক হতে হবে। অর্থাৎ, \( \ln(1-x) \geq 0 \) হতে হবে।
   আমরা জানি, \( \ln(a) \geq 0 \) এর মানে হলো \( a \geq 1 \)
   সুতরাং, \( 1-x \geq 1 \)
   অতএব, \( -x \geq 0 \) বা \( x \leq 0 \)
   এটিকে আমরা লিখতে পারি: \( x \in (-\infty, 0] \)

এখন, দুটি শর্তের মধ্যে সাধারণ অংশটি (common part) নিতে হবে। প্রথম শর্তানুসারে \( x < 1 \) এবং দ্বিতীয় শর্তানুসারে \( x \leq 0 \)। সুতরাং, উভয় শর্ত পূরণ হওয়ার জন্য \( x \leq 0 \) হতে হবে।

অতএব, ফাংশনটির ডোমেইন হলো: \( (-\infty, 0] \) 🎉