একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স  A এর জন্য  A² = A হলে ম্যাট্রিক্সটি কীরূপ হবে?

প্রশ্ন:

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স \(A\) এর জন্য যদি হয় \(A^2 = A\), তবে ম্যাট্রিক্সটি কীরূপ হবে?

উত্তর:

ম্যাট্রিক্স \(A\) এর জন্য যদি \(A^2 = A\), তাহলে এটি একটি **সমঘাতি ম্যাট্রিক্স** (idempotent matrix) বলে পরিচিত।

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ধরি \(A\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। যদি \(A^2 = A\), তবে এই ম্যাট্রিক্সটি সমঘাতি বা idempotent।

এখন, \(A\) এর অপ্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্যগুলো নির্ণয় করি।

প্রথম ধাপ:

অর্থাৎ, \(A^2 = A\) থেকে দেখা যায় যে, ম্যাট্রিক্স \(A\) এর অপ্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্যগুলি হলো তার স্বাভাবিক বৈশিষ্ট্য মান।

দ্বিতীয় ধাপ:

ধরি \(A\) এর বৈশিষ্ট্য মানগুলো হলো \(\lambda\)। তাহলে, এটি হয় \(A\) এর জন্য যে, ম্যাট্রিক্সটি নিজে নিজেকে দ্বিগুণ করে আবার নিজের সমান হয়।

তৃতীয় ধাপ:

অর্থাৎ, \(\lambda^2 = \lambda\)

এখানে, \(\lambda\) এর মান হবে: \(\lambda (\lambda - 1) = 0\)

অর্থাৎ, \(\lambda = 0\) বা \(\lambda = 1\)

চতুর্থ ধাপ:

অতএব, \(A\) এর প্রাথমিক বৈশিষ্ট্য মানগুলো শুধুমাত্র 0 বা 1। এই বৈশিষ্ট্য মান অনুযায়ী, \(A\) এর eigenvector গুলির জন্য, \(A\) অপ্রতিচ্ছন্ন হয় বা মূলতঃ প্রকৃতপক্ষে \(A\) একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স।

সিদ্ধান্ত:

অতএব, যদি \(A^2 = A\), তবে ম্যাট্রিক্সটি **সমঘাতি** বা idempotent।