F(x)=x/(1+x)

প্রশ্ন: \(F(x) = \frac{x}{1+x}\)

যদি \(F(p) \cdot F(q) = \frac{1}{2}\) হয়, তবে দেখাও যে \( (p+1)(q+1) = 4 \)

সমাধান:

\(F(p) = \frac{p}{1+p}\) এবং \(F(q) = \frac{q}{1+q}\)

সুতরাং, \(F(p) \cdot F(q) = \frac{p}{1+p} \cdot \frac{q}{1+q} = \frac{pq}{(1+p)(1+q)}\)

প্রশ্নানুসারে, \( \frac{pq}{(1+p)(1+q)} = \frac{1}{2} \)

অতএব, \(2pq = (1+p)(1+q)\)

\(\implies 2pq = 1 + p + q + pq\)

\(\implies pq - p - q - 1 = 0\)

উভয় পক্ষে \(2\) যোগ করে, \(pq - p - q + 1 = 2\)

\(\implies (p-1)(q-1) = -1 \)

আবার উভয় পক্ষে 4 যোগ করে

এখন, \((1+p)(1+q) = 1 + p + q + pq = 2pq =4 \)😍

অতএব, \((p+1)(q+1) = 2\)

তাহলে উত্তর হবে :