যদি \( \int_6^0 f(t) dt = 8 \) হয় তবে, \( \int_3^0 f(2x) dx \) এর মান-

প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের আছে:
\[
\int_6^0 f(t) dt = 8
\]
এবং আমাদের জানতে চাই:
\[
\int_3^0 f(2x) dx
\]

প্রথমে, মূল ইন্টিগ্রালটি পরিবর্তন করি:
\[
\int_6^0 f(t) dt = - \int_0^6 f(t) dt = 8
\]
অর্থাৎ,
\[
\int_0^6 f(t) dt = -8
\]

এখন, আমাদের লক্ষ্য:
\[
I = \int_3^0 f(2x) dx
\]

অতএব,
\[
I = - \int_0^3 f(2x) dx
\]

পরিবর্তন করি:
\[
u = 2x \Rightarrow du = 2 dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2}
\]

সীমা পরিবর্তন ???রি:
- যখন \( x = 0 \), তখন \( u = 0 \)
- যখন \( x = 3 \), তখন \( u = 6 \)

অতএব,
\[
I = - \int_{u=0}^{u=6} f(u) \frac{du}{2} = - \frac{1}{2} \int_0^6 f(u) du
\]

আমরা জানি,
\[
\int_0^6 f(u) du = -8
\]

অতএব,
\[
I = - \frac{1}{2} \times (-8) = \frac{8}{2} = 4
\]

সুতরাং,
\[
\boxed{ \int_3^0 f(2x) dx = 4 }
\]