f(1) = 6, f'(1) = 3 হলে, x=0 বিন্দুতে d/dx{log f(e^x)} এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: \(f(1) = 6\), \(f'(1) = 3\), আমাদের জানতে চাওয়া হয়েছে: \(x=0\) বিন্দুতে \( \frac{d}{dx} \left\{ \log f \left( e^{x} \right) \right\} \) এর মান। ধাপ ১: প্রথমে, \( g(x) = \log f \left( e^{x} \right) \) ধরি। আমরা \( g(x) \) এর ডেরিভেটিভ বের করব। ধাপ ২: চেইন রুল প্রয়োগ করি: \[ g'(x) = \frac{1}{f \left( e^{x} \right)} \cdot \frac{d}{dx} \left[ f \left( e^{x} \right) \right] \] ধাপ ৩: এখন, \( \frac{d}{dx} \left[ f \left( e^{x} \right) \right] \) বের করব: \[ \frac{d}{dx} \left[ f \left( e^{x} \right) \right] = f' \left( e^{x} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left[ e^{x} \right] = f' \left( e^{x} \right) \cdot e^{x} \] অতএব, \[ g'(x) = \frac{1}{f \left( e^{x} \right)} \cdot f' \left( e^{x} \right) \cdot e^{x} \] ধাপ ৪: এখন \( x=0 \) তে মান বসিয়ে নিই: \[ g'(0) = \frac{1}{f \left( e^{0} \right)} \cdot f' \left( e^{0} \right) \cdot e^{0} \] এখানে, \[ e^{0} = 1 \] তাই, \[ g'(0) = \frac{1}{f(1)} \cdot f'(1) \cdot 1 = \frac{f'(1)}{f(1)} \] প্রদত্ত মান অনুসারে, \[ f(1) = 6,\quad f'(1) = 3 \] সুতরাং, \[ g'(0) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] উত্তর: \[ \boxed{\frac{1}{2}} \]