নিচের কোনটি এক-এক ফাংশন নয় ? [যেখানে ,f:R->R]
প্রশ্ন:
নিচের কোনটি এক-এক ফাংশন নয় ? [যেখানে, \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)]
উত্তর:
দেখুন, ফাংশন \(f(x) = \frac{1}{x}\) এর ক্ষেত্রে, এটি ডোমেইনে সমস্ত বাস্তব সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত নয় কারণ, x = 0-এ ফাংশনের মান সংজ্ঞায়িত নয়।
বিশ্লেষণ:
ফাংশন \(f(x) = \frac{1}{x}\) এর জন্য:
- যে কোনও x \neq 0 জন্য, f(x) সংজ্ঞায়িত।
- কিন্তু, x = 0-এ, ডিনোমিনেটর 0 হয়, তাই f(0) সংজ্ঞায়িত নয়।
অর্থাৎ,
এই ফাংশনটি পুরো রিয়াল সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত নয়, বরং এটি একটি বিকল্প ডোমেইন \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) এর জন্য সংজ্ঞায়িত।
এক-এক ফাংশন হওয়ার জন্য,
এটি নিশ্চিত করতে হবে যে, যদি f(x₁) = f(x₂) হয়, তবে x₁ = x₂।
প্রমাণ করি:
ধরি, f(x₁) = f(x₂), অর্থাৎ:
\( \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \)
এটি সমাধান করি:
\( x_2 = x_1 \)
অর্থাৎ, যদি f(x₁) = f(x₂) হয়, তাহলে x₁ = x₂, তাই, এই ফাংশনটি এক-এক।
নির্ণয়:
যদিও এটি এক-এক, কিন্তু এটি পুরো রিয়াল ডোমেইনে সংজ্ঞায়িত নয়।
তাই,
উত্তর হলো: ফাংশন f(x) = 1/x পুরো রিয়াল ডোমেইনে এক-এক নয়, কারণ এটি সমস্ত রিয়াল সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত নয়।