At x=0, the function f(_e-x² )= is:

সমাধান:

ধরি, \(g(x) = e^{-x^2}\). তাহলে \(f(g(x))\) ফাংশনটি \(x = 0\) তে maximum হবে কিনা, তা নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমত, \(g(x) = e^{-x^2}\) ফাংশনটির \(x = 0\) বিন্দুতে মান নির্ণয় করি:

\(g(0) = e^{-0^2} = e^0 = 1\)

এখন, \(g(x)\) ফাংশনটির প্রথম ডেরিভেটিভ (first derivative) বের করি:

\(g'(x) = -2xe^{-x^2}\)

\(x = 0\) বিন্দুতে \(g'(x)\) এর মান:

\(g'(0) = -2(0)e^{-0^2} = 0\)

অতএব, \(x = 0\) বিন্দুতে \(g(x)\) এর একটি stationary point আছে।

এখন, \(g(x)\) ফাংশনটির দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ (second derivative) বের করি:

\(g''(x) = -2e^{-x^2} + 4x^2e^{-x^2} = e^{-x^2}(4x^2 - 2)\)

\(x = 0\) বিন্দুতে \(g''(x)\) এর মান:

\(g''(0) = e^{-0^2}(4(0)^2 - 2) = 1(-2) = -2\)

যেহেতু \(g''(0) < 0\), তাই \(x = 0\) বিন্দুতে \(g(x)\) ফাংশনটির একটি maximum আছে। অর্থাৎ, \(x = 0\) বিন্দুতে \(g(x)\) এর মান সর্বোচ্চ।

যেহেতু \(g(x)\) এর maximum মান \(x = 0\) বিন্দুতে, তাই \(f(g(x))\) ফাংশনটির maximum মান \(x = 0\) বিন্দুতেই হওয়ার সম্ভাবনা বেশি। যদি \(f\) একটি increasing ফাংশন হয়, তবে \(g(x)\) maximum হলে \(f(g(x))\) ও maximum হবে।

সুতরাং, \(x = 0\) এ ফাংশনটি maximum। 🎉