যদি xsiny+ycosx=pi হয় তবে y"(0) =?

প্রশ্ন: যদি \(x\sin y + y\cos x = \pi\) হয়, তবে \(y''(0)\) = ?

সমাধান:

দেওয়া আছে, \(x\sin y + y\cos x = \pi\).

উভয়পক্ষে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

\(\frac{d}{dx}(x\sin y + y\cos x) = \frac{d}{dx}(\pi)\)

\(\Rightarrow \sin y + x\cos y \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx}\cos x - y\sin x = 0\)

\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(x\cos y + \cos x) = y\sin x - \sin y\)

\(\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y\sin x - \sin y}{x\cos y + \cos x}\) ... (1)

যখন \(x = 0\), তখন \(0\cdot \sin y + y\cos 0 = \pi\)

\(\Rightarrow y = \pi\)

সুতরাং, \((0, \pi)\) বিন্দুতে,

\(\frac{dy}{dx}\bigg|_{(0,\pi)} = \frac{\pi\sin 0 - \sin \pi}{0\cdot \cos \pi + \cos 0} = \frac{0 - 0}{0 + 1} = 0\)

আবার (1) ন??? সমীকরণকে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(\frac{y\sin x - \sin y}{x\cos y + \cos x}\right)\)

\(\Rightarrow y'' = \frac{(x\cos y + \cos x)(\frac{dy}{dx}\sin x + y\cos x - \cos y \frac{dy}{dx}) - (y\sin x - \sin y)(\cos y - x\sin y \frac{dy}{dx} - \sin x)}{(x\cos y + \cos x)^2}\)

\((0, \pi)\) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx} = 0\), সুতরাং,

\(y''(0) = \frac{(0\cdot \cos \pi + \cos 0)(0\cdot \sin 0 + \pi\cos 0 - \cos \pi \cdot 0) - (\pi\sin 0 - \sin \pi)(\cos \pi - 0\cdot \sin \pi \cdot 0 - \sin 0)}{(0\cdot \cos \pi + \cos 0)^2}\)

\(y''(0) = \frac{(1)(\pi - 0) - (0 - 0)(-1 - 0 - 0)}{(1)^2}\)

\(y''(0) = \frac{\pi}{1} = \pi\)

অতএব, \(y''(0) = \pi\).

😊😊