যদি \( \int_4^1 f(x) dx = 5 \) হলে, \( \int_1^0 f(3x+1) dx \) এর মান-

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,

\( \int_4^1 f(x) \, dx = 5 \)

প্রথমে, এই ইন্টিগ্রালটির মান পরিবর্তিত করব। ইন্টিগ্রালের সীমা উল্টে গেলে মানটি ঋণাত্মক হয়, তাই:

\( \int_4^1 f(x) \, dx = - \int_1^4 f(x) \, dx = 5 \)

অর্থাৎ,

\( \int_1^4 f(x) \, dx = -5 \)

এখন, আমাদের লক্ষ্য হলো:

\( I = \int_1^0 f(3x + 1) \, dx \)

প্রথমে, পরিবর্তন করব মানের জন্য। ধরি:

\( t = 3x + 1 \)

অতএব,

\( dt = 3 \, dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{3} \)

সীমাগুলি পরিবর্তন করি:

যখন \( x = 1 \), তাহলে \( t = 3(1) + 1 = 4 \)

যখন \( x = 0 \), তাহলে \( t = 3(0) + 1 = 1 \)

অতএব, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( I = \int_{x=1}^{x=0} f(3x+1) \, dx = \int_{t=4}^{t=1} f(t) \frac{dt}{3} \)

এই পরিবর্তনের কারণে সীমাগুলি উল্টে গেছে, সুতরাং মানটি ঋণাত্মক হবে:

\( I = - \frac{1}{3} \int_{1}^{4} f(t) \, dt \)

আমরা জানি \( \int_{1}^{4} f(t) \, dt = -5 \), সুতরাং:

\( I = - \frac{1}{3} \times (-5) = \frac{5}{3} \)

অতএব, উত্তরের মান হলো:

\( \boxed{\frac{5}{3}} \)