যদি 3x+by-1=0 রেখাটি x²+y²-8x-2y+4=0 বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাহলে b এর মান কোনটি ?

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 - 8x - 2y + 4 = 0\).

এই বৃত্তের কেন্দ্র \(C\) এবং ব্যাসার্ধ \(r\) নির্ণয় করি। সাধারণ সমীকরণ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) এর সাথে তুলনা করে পাই,

\(2g = -8 \Rightarrow g = -4\), \(2f = -2 \Rightarrow f = -1\), \(c = 4\).

সুতরাং, কেন্দ্র \(C = (-g, -f) = (4, 1)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 - 4} = \sqrt{16 + 1 - 4} = \sqrt{13}\).

দেওয়া আছে, সরলরেখার সমীকরণ: \(3x + by - 1 = 0\).

যেহেতু সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।

কেন্দ্র \(C(4, 1)\) থেকে \(3x + by - 1 = 0\) এর লম্ব দূরত্ব,

\(\left| \frac{3(4) + b(1) - 1}{\sqrt{3^2 + b^2}} \right| = \sqrt{13}\)

\(\Rightarrow \left| \frac{12 + b - 1}{\sqrt{9 + b^2}} \right| = \sqrt{13}\)

\(\Rightarrow \left| \frac{11 + b}{\sqrt{9 + b^2}} \right| = \sqrt{13}\)

উভয় দিকে বর্গ করে পাই,

\(\frac{(11 + b)^2}{9 + b^2} = 13\)

\(\Rightarrow (11 + b)^2 = 13(9 + b^2)\)

\(\Rightarrow 121 + 22b + b^2 = 117 + 13b^2\)

\(\Rightarrow 12b^2 - 22b - 4 = 0\)

\(\Rightarrow 6b^2 - 11b - 2 = 0\)

\(\Rightarrow 6b^2 - 12b + b - 2 = 0\)

\(\Rightarrow 6b(b - 2) + 1(b - 2) = 0\)

\(\Rightarrow (6b + 1)(b - 2) = 0\)

সুতরাং, \(b = 2\) অথবা \(b = -\frac{1}{6}\).

অতএব, \(b\) এর মান \(2\) অথবা \(-\frac{1}{6}\)। 🎉