A²​ = A হলে A ম্যাট্রিক্সটি—​​​

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(A^2 = A\) হলে A ম্যাট্রিক্সটি—​​ উত্তর: "সমঘাতী" সমাধান: ধরা যাক, \(A\) একটি স্কেলার বা ম্যাট্রিক্স, যেখানে \(A^2 = A\)। এটি একটি স্ব-অন্তর্ভুক্ত নিদর্শন বা **প্রজেকশন ম্যাট্রিক্স** হিসেবে পরিচিত। প্রমাণ: একটি ম্যাট্রিক্স \(A\) যদি \(A^2 = A\) হয়, তাহলে এটি নিজে নিজেকে প্রজেকশন বা প্রকল্পের মতো, অর্থাৎ এটি idempotent ম্যাট্রিক্স। প্রথমত, ধরা যাক, \(A\) একটি স্কেলার বা একমাত্র উপাদান। তাহলে, \[ A^2 = A \implies A^2 - A = 0 \implies A(A - I) = 0 \] এখানে, \(I\) হলো ঐক্য ম্যাট্রিক্স। অর্থাৎ, \(A\) এর Eigen মানসমূহ হতে হবে 0 বা 1, কারণ: \[ A v = \lambda v \implies A^2 v = \lambda^2 v \] এবং, \[ A^2 v = A v \implies \lambda^2 v = \lambda v \implies (\lambda^2 - \lambda) v = 0 \] এবং, যেহেতু \(v \neq 0\), তাহলে \ \[ \lambda^2 - \lambda = 0 \implies \lambda (\lambda - 1) = 0 \] অর্থাৎ, \(\lambda = 0\) বা \(\lambda = 1\)। এখন, একটি ম্যাট্রিক্স \(A\) যদি এর সমস্ত Eigen মান 0 বা 1 হয়, এবং এটি স্ব-অন্তর্ভুক্ত হয় (\(A^2 = A\)), তাহলে \(A\) একটি **সমঘাতী (idempotent)** ম্যাট্রিক্স। অতএব, \[ \boxed{ \text{যেহেতু } A^2 = A, \text{ সুতরাং } A \text{ একটি সমঘাতী (idempotent) ম্যাট্রিক্স।} } \]