2x + 3y + 4 = 0 রেখার উপর লম্ব এবং (3,-2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নিচের কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, দেওয়া রেখার সমীকরণ: \[ 2x + 3y + 4 = 0 \] এর সুত্রানুযায়ী, রেখাটির ধ্রুবক (normal vector) হলো: \[ \vec{n} = (2, 3) \] রেখাটির ধ্রুবক ভেক্টর দিয়ে, লম্ব রেখার জন্য, তার ধ্রুবক ভেক্টর হবে, যার সাথে এই রেখাটির ধ্রুবক ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ ৯০° হবে। অর্থাৎ, যদি ধ্রুবক ভেক্টর \(\vec{n_1} = (2, 3)\), তবে লম্ব রেখার ধ্রুবক ভেক্টর \(\vec{n_2}\) হবে, যা \(\vec{n_1}\) এর সঙ্গে স্কেলার গুণফলের শূন্যতা রাখে। অর্থাৎ: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \] ধরা যাক, লম্ব রেখার সমীকরণ: \[ A x + B y + C = 0 \] তাহলে, এর ধ্রুবক ভেক্টর: \[ \vec{n_2} = (A, B) \] অর্থাৎ, আমাদের প্রয়োজন: \[ (2, 3) \cdot (A, B) = 0 \] \[ 2A + 3B = 0 \] এখানে, \(A\) ও \(B\) এর মান নির্ণয় করতে পারি: \[ 2A + 3B = 0 \Rightarrow 2A = -3B \Rightarrow A = -\frac{3}{2} B \] সুতরাং, লম্ব রেখার সমীকরণ: \[ A x + B y + C = 0 \] এখানে, \(A = -\frac{3}{2} B\) অতএব, সমীকরণ: \[ -\frac{3}{2} B x + B y + C = 0 \] বিলগ্ন করে সব গুণফল পূর্ণসংখ্যা করতে, \(B\) কে 2 দ্বারা গুণ করি: \[ -3 x + 2 y + 2 C = 0 \] এখানে, \(2C\) কে নতুন ধ্রুবক হিসেবে ধরি, \(D = 2C\), তাহলে: \[ -3 x + 2 y + D = 0 \] এখন, সরলরেখা যে বিন্দু দিয়ে যায়, তা হ??ো \((3, -2)\)। এই বিন্দু রেখার সমীকরণে বসিয়ে দেখি: \[ -3(3) + 2(-2) + D = 0 \] \[ -9 - 4 + D = 0 \] \[ D = 13 \] অতএব, রেখার সমীকরণ: \[ -3x + 2y + 13 = 0 \] অথবা, সাধারণ রূপে: \[ 3x - 2y - 13 = 0 \] **উত্তর: \(\boxed{3x - 2y - 13 = 0}\)**