Find the area of the region enclosed between the curves y = x² and y = x + 6

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

অঞ্চলটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় 📐

ধাপ ১: ছেদ বিন্দু নির্ণয় 📍

প্রথমে, \(y = x^2\) এবং \(y = x + 6\) এর ছেদ বিন্দুগুলো নির্ণয় করি। এর জন্য, উভয় সমীকরণ সমান ধরে পাই: \[x^2 = x + 6\] \[x^2 - x - 6 = 0\] \[(x - 3)(x + 2) = 0\] সুতরাং, \(x = 3\) অথবা \(x = -2\)। ছেদ বিন্দুগুলো হলো \((-2, 4)\) এবং \((3, 9)\)।

ধাপ ২: ইন্টিগ্রেশন সেট আপ 🤔

এখন, ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য ইন্টিগ্রেশন করতে হবে। \(y = x + 6\) রেখাটি \(y = x^2\) বক্ররেখার উপরে অবস্থিত। সুতরাং, ইন্টিগ্রেশন হবে: \[A = \int_{-2}^{3} [(x + 6) - x^2] dx\]

ধাপ ৩: ইন্টিগ্রেশন সমাধান ✍️

ইন্টিগ্রেশনটি সমাধান করি: \[A = \int_{-2}^{3} (x + 6 - x^2) dx\] \[A = \left[\frac{x^2}{2} + 6x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{3}\] \[A = \left(\frac{3^2}{2} + 6(3) - \frac{3^3}{3}\right) - \left(\frac{(-2)^2}{2} + 6(-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right)\] \[A = \left(\frac{9}{2} + 18 - 9\right) - \left(\frac{4}{2} - 12 + \frac{8}{3}\right)\] \[A = \left(\frac{9}{2} + 9\right) - \left(2 - 12 + \frac{8}{3}\right)\] \[A = \frac{27}{2} - \left(-10 + \frac{8}{3}\right)\] \[A = \frac{27}{2} + 10 - \frac{8}{3}\] \[A = \frac{81 + 60 - 16}{6}\] \[A = \frac{125}{6}\]

ফলাফল 🎉

অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(\frac{125}{6}\) বর্গ একক। ```