sinA + cosA = sinB + cosB হলে A+B=?

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

\[ \sin A + \cos A = \sin B + \cos B \]

ধাপ ১: সমীকরণ পুনঃলিখন

আমরা জানি, \(\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)\)

অতএব, সমীকরণটি রূপান্তরিত হবে:

\[ \sqrt{2} \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \]

ধাপ ২: সরলীকরণ

অতএব,

\[ \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \]

ধাপ ৩: সাইন সমতুল্যতা সমাধান

সাইন সমতুল্যতার জন্য, সাধারণ সমাধান হলো:

\[ A + \frac{\pi}{4} = B + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{অথবা} \quad A + \frac{\pi}{4} = \pi - \left( B + \frac{\pi}{4} \right) + 2k\pi \]

প্রথমটি:

\[ A = B + 2k\pi \]

দ্বিতীয়টি:

\[ A + \frac{\pi}{4} = \pi - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

অর্থাৎ:

\[ A + \frac{\pi}{4} = \pi - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

এখানে,

\[ A + \frac{\pi}{4} + B + \frac{\pi}{4} = \pi + 2k\pi \]

অথবা:

\[ A + B + \frac{\pi}{2} = \pi + 2k\pi \]

এখানে, আমরা মূল সমাধানটির জন্য, যেখানে \(k=0\):

\[ A + B + \frac{\pi}{2} = \pi \]

অর্থাৎ:

\[ A + B = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \]

উত্তর:

সুতরাং, \(A + B = \frac{\pi}{2}\)