Another Explanation (5):
Mathematical Solution
প্রশ্ন:
যদি \(\omega\) একটি জটিল ত্রৈত সমাধান \((\omega^3 = 1)\) হয়, তাহলে নিম্নলিখিত নির্ণায়কের মান কত হবে?
\(\left| \begin{array}{ccc}
1 & \omega & \omega^2 \\
\omega & \omega^2 & 1 \\
\omega^2 & 1 & \omega \\
\end{array} \right|\)
উত্তর:
চলুন নির্ণায়কের মান নির্ণয় করি। নির্ণায়কের জন্য আমাদের ম্যাট্রিক্স হল:
\[
M = \begin{bmatrix}
1 & \omega & \omega^2 \\
\omega & \omega^2 & 1 \\
\omega^2 & 1 & \omega \\
\end{bmatrix}
\]
ধাপ ১: নির্ণায়ক প্রকাশ করুন
\[
\det(M) =
\begin{vmatrix}
1 & \omega & \omega^2 \\
\omega & \omega^2 & 1 \\
\omega^2 & 1 & \omega \\
\end{vmatrix}
\]
ধাপ ২: ডেল্টা নির্ণয় করুন
ডেটার মান গাণিতিকভাবে বের করতে হবে। চলুন লিনিয়ার ডিটারমিন্যান্টের সূত্র ব্যবহার করি।
\[
\det(M) = 1 \times
\begin{vmatrix}
\omega^2 & 1 \\
1 & \omega \\
\end{vmatrix}
- \omega \times
\begin{vmatrix}
\omega & 1 \\
\omega^2 & \omega \\
\end{vmatrix}
+ \omega^2 \times
\begin{vmatrix}
\omega & \omega^2 \\
\omega^2 & 1 \\
\end{vmatrix}
\]
ধাপ ৩: ২x2 ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয় করুন
\[
\begin{aligned}
& \text{First minor:} \quad
\begin{vmatrix}
\omega^2 & 1 \\
1 & \omega \\
\end{vmatrix}
= (\omega^2)(\omega) - (1)(1) = \omega^3 - 1 \\
& \text{Second minor:} \quad
\begin{vmatrix}
\omega & 1 \\
\omega^2 & \omega \\
\end{vmatrix}
= (\omega)(\omega) - (1)(\omega^2) = \omega^2 - \omega^2 = 0 \\
& \text{Third minor:} \quad
\begin{vmatrix}
\omega & \omega^2 \\
\omega^2 & 1 \\
\end{vmatrix}
= (\omega)(1) - (\omega^2)(\omega^2) = \omega - (\omega^2)^2
\end{aligned}
\]
এখন, \(\omega\) একটি ত্রৈতি সমাধান, অর্থাৎ:
\[
\omega^3 = 1
\]
এবং,
\[
1 + \omega + \omega^2 = 0 \Rightarrow \omega^2 = -1 - \omega
\]
এবং,
\[
(\omega^2)^2 = \omega^4 = \omega^3 \times \omega = 1 \times \omega = \omega
\]
অর্থাৎ,
\[
\text{Third minor} = \omega - \omega = 0
\]
ধাপ ৪: নির্ণায়কের মান নির্ণয় করুন
\[
\det(M) = 1 \times (\omega^3 - 1) - \omega \times 0 + \omega^2 \times 0 = (\omega^3 - 1)
\]
এখানে, \(\omega^3 = 1\), তাই:
\[
\det(M) = 1 - 1 = 0
\]
উপসংহার:
অতএব, নির্ণায়কের মান হল:
\[
\boxed{0}
\]
