[[10,20,30],[40,50,60],[50,70,90]] নির্ণায়কটির মান কত?

নির্ণায়কটির মান নির্ণয়:

ধরি, \(A = \begin{bmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 40 & 50 & 60 \\ 50 & 70 & 90 \end{bmatrix}\)

নির্ণায়কের মান, \(|A| = \begin{vmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 40 & 50 & 60 \\ 50 & 70 & 90 \end{vmatrix}\)

প্রথম সারি থেকে 10 এবং দ্বিতীয় সারি থেকে 10 কমন নিয়ে পাই,

\(|A| = 10 \times 10 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{vmatrix} = 100 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{vmatrix}\)

এখন, \(R_2 \rightarrow R_2 - 4R_1\) এবং \(R_3 \rightarrow R_3 - 5R_1\) করি,

\(|A| = 100 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4-4(1) & 5-4(2) & 6-4(3) \\ 5-5(1) & 7-5(2) & 9-5(3) \end{vmatrix} = 100 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -3 & -6 \end{vmatrix}\)

যেহেতু দ্বিতীয় ও তৃতীয় সারি একই, তাই নির্ণায়কের মান 0 হবে।

\(|A| = 100 \times 0 = 0\)

সুতরাং, নির্ণায়কটির মান 0। 🎉

বিকল্প পদ্ধতি:

লক্ষ্য করি, দ্বিতীয় সারি = \( \frac{1}{3} \) [প্রথম স??রি] । সুতরাং এরা linear dependent 🧐 , তাই নির্ণায়কের মান 0 হবে।

\(C_2 \rightarrow C_2 - 2C_1\) এবং \(C_3 \rightarrow C_3 - 3C_1\) করি,

\(|A| = \begin{vmatrix} 10 & 20-2*10 & 30-3*10 \\ 40 & 50-2*40 & 60-3*40 \\ 50 & 70-2*50 & 90-3*50 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 40 & -30 & -60 \\ 50 & -30 & -60 \end{vmatrix}\)

এখন, \(R_3 \rightarrow R_3 - R_2\) করি,

\(|A| = \begin{vmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 40 & -30 & -60 \\ 50-40 & -30-(-30) & -60-(-60) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 40 & -30 & -60 \\ 10 & 0 & 0 \end{vmatrix}\)

যেহেতু প্রথম ও তৃতীয় সারি একই, তাই নির্ণায়কের মান 0 হবে। 🥳