দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হলে, উহাদের মধ্যবর্তী কোণ কত?

দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হলে মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়

ধরি, দুটি ভেক্টর \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \)।

তাদের যোগফল \( \vec{A} + \vec{B} \) এবং বিয়োগফল \( \vec{A} - \vec{B} \)।

প্রশ্নানুসারে, \( |\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A} - \vec{B}| \) 😮

উভয়পাশে বর্গ করে পাই,

\( |\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A} - \vec{B}|^2 \)

\( \implies (\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = (\vec{A} - \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) \)

\( \implies |\vec{A}|^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B} + |\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 - 2\vec{A} \cdot \vec{B} + |\vec{B}|^2 \)

\( \implies 4\vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \)

\( \implies \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \)

আমরা জানি, \( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos{\theta} \), যেখানে \( \theta \) হলো \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \) এর মধ্যবর্তী কোণ। 🤔

সুতরাং, \( |\vec{A}| |\vec{B}| \cos{\theta} = 0 \)

যদি \( |\vec{A}| \neq 0 \) এবং \( |\vec{B}| \neq 0 \) হয়, তবে \( \cos{\theta} = 0 \) হবে। 🤓

\( \implies \theta = \cos^{-1}(0) \)

\( \implies \theta = 90^\circ \) 🥳

অতএব, ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \( 90^\circ \)।