\(\sin A + \cos A = \sin B + \cos B\) হলে \((A+B)\) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: \[ \sin A + \cos A = \sin B + \cos B \] আমরা জানি, \[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \] অতএব, \[ \sqrt{2} \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \] দুটি সমীকরণের জন্য, \[ \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \] যেহেতু, \[ \sin x = \sin y \implies x = y + 2k\pi \quad \text{অথবা} \quad x = \pi - y + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] সুতরাং, \[ A + \frac{\pi}{4} = B + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad A = B + 2k\pi \] অথবা, \[ A + \frac{\pi}{4} = \pi - \left( B + \frac{\pi}{4} \right) + 2k\pi \] এখানে, \[ A + \frac{\pi}{4} = \pi - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] \[ A + \frac{\pi}{4} = \pi - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] \[ A + \frac{\pi}{4} = \pi - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] উভয় সমীকরণ থেকে, 1. \(A = B + 2k\pi\) 2. \(A = -B + \pi + 2k\pi\) প্রথমটি থেকে, \[ A + B = B + 2k\pi + B = 2B + 2k\pi \] দ্বিতীয়টি থেকে, \[ A + B = -B + \pi + 2k\pi + B = \pi + 2k\pi \] অতএব, \[ A + B = \pi + 2k\pi \] যেহেতু, \(k\) যে কোনও পূর্ণসংখ্যা, মূল মান হলো \[ A + B \equiv \pi \pmod{2\pi} \] অর্থাৎ, \[ (A + B) = \pi \quad \text{(প্রধান মান)} \]

উত্তর:

\[ \boxed{\pi} \]