মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং 3y=2x রেখার সাথে tan^-1(1/2) কোণ উৎপন্ন করে এরুপ দুটি সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3y=2x\) রেখার সাথে \(tan^{-1}(\frac{1}{2})\) কোণ উৎপন্ন করে এরুপ দুটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে, \(3y = 2x\) রেখাটিকে \(y = mx + c\) আকারে লিখি: \(y = \frac{2}{3}x\) সুতরাং, এই রেখার ঢাল (\(m_1\)) হলো \(\frac{2}{3}\)। ধরি, নির্ণেয় সরলরেখাগুলির ঢাল \(m\)। যেহেতু সরলরেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে যায়, তাই এর সমীকরণ হবে \(y = mx\)। \(y = mx\) রেখাটি \(y = \frac{2}{3}x\) রেখার সাথে \(tan^{-1}(\frac{1}{2})\) কোণ উৎপন্ন করে। সুতরাং, \(tan(\theta) = \left|\frac{m - m_1}{1 + mm_1}\right|\) এখানে, \(\theta = tan^{-1}(\frac{1}{2})\), সুতরাং \(tan(\theta) = \frac{1}{2}\)। অতএব, \(\frac{1}{2} = \left|\frac{m - \frac{2}{3}}{1 + m(\frac{2}{3})}\right|\) \(\frac{1}{2} = \left|\frac{3m - 2}{3 + 2m}\right|\) এখন, দুটি সম্ভাবনা: 1. \(\frac{3m - 2}{3 + 2m} = \frac{1}{2}\) \(2(3m - 2) = 3 + 2m\) \(6m - 4 = 3 + 2m\) \(4m = 7\) \(m = \frac{7}{4}\) সুতরাং, একটি সরলরেখার সমীকরণ: \(y = \frac{7}{4}x\) 2. \(\frac{3m - 2}{3 + 2m} = -\frac{1}{2}\) \(2(3m - 2) = -1(3 + 2m)\) \(6m - 4 = -3 - 2m\) \(8m = 1\) \(m = \frac{1}{8}\) সুতরাং, অন্য সরলরেখার সমীকরণ: \(y = \frac{1}{8}x\) সুতরাং, নির্ণেয় সরলরেখা দুটির সমীকরণ হলো: \(y = \frac{7}{4}x\) এবং \(y = \frac{1}{8}x\) 🎉 ```