Find the inverse of  A=[[4,5,0,0],[3,4,0,0],[0,0,3,2],[0,0,4,3]] 

ধাপ ১: \(A\) ম্যাট্রিক্সটি হলো:

\(A = \begin{bmatrix} 4 & 5 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 3 \end{bmatrix}\)

ধাপ ২: \(A\) ম্যাট্রিক্সটিকে দুটি \(2 \times 2\) ব্লকে ভাগ করি:

\(A = \begin{bmatrix} B & 0 \\ 0 & C \end{bmatrix}\), যেখানে \(B = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) এবং \(C = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}\)

ধাপ ৩: \(B\) এবং \(C\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করি।

\(B\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স:

\(\det(B) = (4 \times 4) - (5 \times 3) = 16 - 15 = 1\)

\(B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}\)

\(C\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স:

\(\det(C) = (3 \times 3) - (2 \times 4) = 9 - 8 = 1\)

\(C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{bmatrix}\)

ধাপ ৪: \(A\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স হবে:

\(A^{-1} = \begin{bmatrix} B^{-1} & 0 \\ 0 & C^{-1} \end{bmatrix}\)

\(A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -5 & 0 & 0 \\ -3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & -4 & 3 \end{bmatrix}\) 🎉

সুতরাং, \(A\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স হলো:

\(A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -5 & 0 & 0 \\ -3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & -4 & 3 \end{bmatrix}\) ✅