Another Explanation (5):
সমাধান:
আমরা জানি যে, বাঁদিকে দেওয়া সমীকরণটি হল:
\[
^nC_r
\]
আমাদের লক্ষ্য হল এই সমীকরণটির মানকে অন্যভাবে প্রকাশ করা, অর্থাৎ:
\[
^nC_r = ?
\]
প্রশ্নে দেওয়া উত্তরে বলা হয়েছে:
\[
^nC_r = ^nC_{r + n}
\]
এখন, আমরা যাচাই করব এটি সত্য কি না।
প্রমাণ:
আমরা জানি যে, কম্বিনেশন সূত্র:
\[
^nC_r = \frac{n!}{r! \cdot (n - r)!}
\]
অতএব,
\[
^nC_{r + n} = \frac{n!}{(r + n)! \cdot (n - (r + n))!}
\]
এখানে,
\[
n - (r + n) = -r
\]
তাই,
\[
^nC_{r + n} = \frac{n!}{(r + n)! \cdot (-r)!}
\]
এখন, factorial এর জন্য, \(-r\)! সংজ্ঞায়িত নয় যদি \(r\) ধনাত্মক সংখ্যা হয়। এ জন্য, সাধারণত, কম্বিনেশন এর জন্য \(r\) এর মান অবশ্যই ০ বা তার থেকে বড় হতে হবে।
তাই, মূল সমীকরণটি সত্য হতে হলে, আমাদের অবশ্যই \(r \geq 0\) ধরা হয়।
তবে, যদি \(r = 0\), তবে:
\[
^nC_0 = 1
\]
এবং,
\[
^nC_{0 + n} = ^nC_n = 1
\]
এবং উভয়ই সমান।
অতএব, যেহেতু,
\[
^nC_r = ^nC_{r + n}
\]
শর্ত হলো \(r \geq 0\) এবং \(r + n \leq n\), অর্থাৎ \(r \leq 0\)। যেহেতু \(r\) সাধারণত ধনাত্মক বা শূন্য ধরা হয়, তখন এই সমীকরণ শুধুমাত্র \(r=0\) এর জন্য সত্য।
**উপসংহার:**
\[
^nC_r = ^nC_{r + n}
\]
শর্তে সত্য হবে যখন \(r=0\)।
---
সারাংশ:
- কম্বিনেশন এর মূল সূত্র:
\[
^nC_r = \frac{n!}{r! (n - r)!}
\]
- এটি শুধুমাত্র তখন সত্য যখন \(r=0\) বা অন্য নির্দিষ্ট শর্তে।
- প্রশ্নে প্রদত্ত সমীকরণটি সাধারণত সত্য নয়, তবে কিছু নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে (যেমন \(r=0\)) সত্য হয়।
