\( f(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x-1}} \) এর ডোমেইন কত?

Explanation: Hints: \( x \) এর যে মানের জন্য \( f(x) \) সংজ্ঞায়িত হয়, \( x \) এর সেইসব মানই ডোমেন। Solve: \( f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x - 1} \) এখানে \( x \neq 0 \) এবং \( x > 0 \) এর জন্য \( f(x) \) সংজ্ঞায়িত। তাই ডোমেন \( (0, \infty) \)। Ans. (B) ব্যাখ্যা: ডোমেন কোনো \( x \neq 0 \) এবং \( x > 0 \)? ডোমেন মানে হচ্ছে \( x \) এর সেইসব মান ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করে। ফাংশনটির একটি পদ \( \frac{1}{x} \); \( x \) এর মান যদি \( 0 \) হয় তবে ঐ পদ থেকে কোনো মান পাওয়া সম্ভব না। ফাংশনটির আরেকটি পদ \( \sqrt{x} \); যদি \( x \) এর মান ঋণাত্মক হয় তবে ঐ পদ থেকেও কোনো মান পাওয়া সম্ভব না। কারণ Normally ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল সম্ভব নয়। আর তাই ডোমেন হচ্ছে \( 0 \) এর চেয়ে বড় যেকোনো সংখ্যা। এ বিষয়টাকেই প্রকাশ করা হয় \( (0, \infty) \) দ্বারা।

Another Explanation (5): ```html

ফাংশনটির ডোমেইন নির্ণয়

দেওয়া আছে, \( f(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x-1}} \) এই ফাংশনটির ডোমেইন নির্ণয় করতে হলে, নিম্নলিখিত শর্তগুলো বিবেচনা করতে হবে:

1. বর্গমূল চিহ্নের ভিতরের রাশি ≥ 0 হতে হবে: \( x - 1 \ge 0 \) অতএব, \( x \ge 1 \)
2. ভগ্নাংশের হর ≠ 0 হতে হবে: \( x + \sqrt{x-1} \ne 0 \)

এখন, \( x + \sqrt{x-1} \ne 0 \) কিনা তা পরীক্ষা করতে হবে। যেহেতু \( x \ge 1 \), তাই \( x \) একটি ধনাত্মক সংখ্যা হবে। যদি \( x \ge 1 \) হয়, তবে \( \sqrt{x-1} \ge 0 \) হবে। সুতরাং, \( x + \sqrt{x-1} \) এর মান সর্বদা ধনাত্মক অথবা শূন্য হবে। এখন দেখতে হবে \( x + \sqrt{x-1} = 0 \) হয় কিনা। যদি \( x + \sqrt{x-1} = 0 \) হয়, তাহলে \( \sqrt{x-1} = -x \) হতে হবে। কিন্তু যেহেতু \( x \ge 1 \), তাই \( -x \) একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হবে অথবা -1 হবে। কিন্তু \( \sqrt{x-1} \) এর মান কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই \( x + \sqrt{x-1} = 0 \) হওয়ার কোনো সম্ভাবনা নেই। 🙅‍♀️ সুতরাং, \( x + \sqrt{x-1} \ne 0 \) যখন \( x \ge 1 \) অতএব, প্রদত্ত ফাংশনটির ডোমেইন হলো: \( [1, \infty) \) 🎉 ```