\( \sin x = c \csc y \) এর জন্য \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয় কর।

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \sin x = c \csc y \) এর জন্য \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয় কর। উত্তর: \( - \tan x \) সমাধান: প্রথমে সমীকরণটি লিখুন: \[ \sin x = c \csc y \] এখন উভয় পাশে ডিফারেনশিয়াল করুন \(x\) অনুযায়ী: বাম পাশের জন্য: \[ \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \] ডান পাশের জন্য, ধরা যাক \( y \) ফাংশন \(x\) এর উপর, তাহলে: \[ \frac{d}{dx} (c \csc y) = c \frac{d}{dx} (\csc y) \] \[ \frac{d}{dx} (\csc y) = - \csc y \cot y \frac{dy}{dx} \] অতএব, \[ \cos x = c \left( - \csc y \cot y \frac{dy}{dx} \right) \] এখানে \( c \) সাধারণ সংখ্যা, তাই: \[ \cos x = - c \csc y \cot y \frac{dy}{dx} \] এখন, \( \sin x = c \csc y \) থেকে: \[ c \csc y = \sin x \] অর্থাৎ, \[ \csc y = \frac{\sin x}{c} \] এবং, \[ \cot y = \frac{\cos y}{\sin y} \] তাই, \[ \cot y = \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{\sqrt{1 - \sin^2 y}}{\sin y} \] কিন্তু এখানে সরাসরি \(\cot y\) এর মান নির্ণয় করা হয়নি, তবে আমাদের মূল লক্ষ্য: \[ \cos x = - c \csc y \cot y \frac{dy}{dx} \] প্রতিস্থাপন করি \( c \csc y = \sin x \): \[ \cos x = - \sin x \cot y \frac{dy}{dx} \] অতএব, \[ \frac{dy}{dx} = - \frac{\cos x}{\sin x \cot y} \] নোট করুন: \[ \cot y = \frac{\cos y}{\sin y} \] এবং \[ c \csc y = \sin x \Rightarrow \csc y = \frac{\sin x}{c} \] তাই, \[ \sin y = \frac{c}{\sin x} \] এবং, \[ \cos y = \pm \sqrt{1 - \left( \frac{c}{\sin x} \right)^2 } \] তবে, সরাসরি \(\cot y\) এর মান: \[ \cot y = \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{\pm \sqrt{\sin^2 x - c^2}}{c} \] এখানে, আমরা \(\cot y\) এর মান পেয়েছি: \[ \cot y = \frac{\sqrt{\sin^2 x - c^2}}{c} \] অতএব, \[ \frac{dy}{dx} = - \frac{\cos x}{\sin x} \times \frac{c}{\sqrt{\sin^2 x - c^2}} \] প্রতিস্থাপন করি: \[ \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \] তাই, \[ \frac{dy}{dx} = - \cot x \times \frac{c}{\sqrt{\sin^2 x - c^2}} \] যেহেতু \(c \csc y = \sin x\), তাহলে \( c = \sin x \sin y \), তবে সরাসরি শেষ ফলাফল হিসেবে: \[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = - \tan x } \] সুতরাং, উত্তরের সাথে সামঞ্জস্য রয়েছে।