Sec^2(y/2)-2tan(y/2)=0 এর সমাধান কোনটি?

যেখানে,  -2pi<=y<=2pi 

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: \(\sec^2\left(\frac{y}{2}\right) - 2 \tan\left(\frac{y}{2}\right) = 0\)

ধাপে ধাপে সমাধান করি:

1. অতএব, সমীকরণটি লিখি: \[ \sec^2\left(\frac{y}{2}\right) = 2 \tan\left(\frac{y}{2}\right) \]
2. আমরা জানি যে, \(\sec^2 x = 1 + \tan^2 x\), তাই: \[ 1 + \tan^2\left(\frac{y}{2}\right) = 2 \tan\left(\frac{y}{2}\right) \]
3. অবশ্যই, সেটি একটি রৈখিক সমীকরণ \(\tan\left(\frac{y}{2}\right)\) এর জন্য: \[ \tan^2\left(\frac{y}{2}\right) - 2 \tan\left(\frac{y}{2}\right) + 1 = 0 \]
4. ধরা যাক, \(t = \tan\left(\frac{y}{2}\right)\), তাহলে সমীকরণ হবে: \[ t^2 - 2t + 1 = 0 \]
5. এটি একটি দ্বিগুণ সমীকরণ: \[ (t - 1)^2 = 0 \] অর্থাৎ, \[ t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1 \]
6. অর্থাৎ, \[ \tan\left(\frac{y}{2}\right) = 1 \]
7. সমাধান করি: \[ \frac{y}{2} = \arctan(1) + n\pi \] যেখানে, \(n \in Z\) (পূর্ণসংখ্যা)। \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\), সুতরাং: \[ \frac{y}{2} = \frac{\pi}{4} + n\pi \] অর্থাৎ, \[ y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \]
8. আমাদের দেওয়া সীমা: \(-2\pi \leq y \leq 2\pi\)। \(n\) এর মান নির্ণয় করি:
   1. যখন \(n=0\): \[ y = \frac{\pi}{2} \] এটি সীমার মধ্যে।
   2. যখন \(n=1\): \[ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \] যা সীমার বাইরে, কারণ \(5\pi/2 > 2\pi\)।
   3. যখন \(n=-1\): \[ y = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \] এটি সীমার মধ্যে।

অতএব, সমাধানগুলি হল:

\( y = \frac{\pi}{2} , -\frac{3\pi}{2} \)

উত্তর:

\(\boxed{\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}}\)