3x+by-1=0 রেখাটি x²+ y²-8x-2y+4= বৃত্তকে স্পর্শ করলে b এর মান কত?

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ:

\( x^2 + y^2 - 8x - 2y + 4 = 0 \)

এই বৃত্তের কেন্দ্র \( (4, 1) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{4^2 + 1^2 - 4} = \sqrt{16 + 1 - 4} = \sqrt{13} \).

সরলরেখার সমীকরণ:

\( 3x + by - 1 = 0 \)

যেহেতু সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।

কেন্দ্র \( (4, 1) \) থেকে \( 3x + by - 1 = 0 \) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব:

\( d = \frac{|3(4) + b(1) - 1|}{\sqrt{3^2 + b^2}} = \frac{|12 + b - 1|}{\sqrt{9 + b^2}} = \frac{|11 + b|}{\sqrt{9 + b^2}} \)

যেহেতু \( d = r \), তাই

\( \frac{|11 + b|}{\sqrt{9 + b^2}} = \sqrt{13} \)

উভয় দিকে বর্গ করে পাই,

\( \frac{(11 + b)^2}{9 + b^2} = 13 \)

\( (11 + b)^2 = 13(9 + b^2) \)

\( 121 + 22b + b^2 = 117 + 13b^2 \)

\( 12b^2 - 22b - 4 = 0 \)

\( 6b^2 - 11b - 2 = 0 \)

এখন, দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে \( b \) এর মান নির্ণয় করি:

\( b = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(6)(-2)}}{2(6)} \)

\( b = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 48}}{12} \)

\( b = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{12} \)

\( b = \frac{11 \pm 13}{12} \)

সুতরাং, \( b \) এর মান হবে:

\( b_1 = \frac{11 + 13}{12} = \frac{24}{12} = 2 \)

\( b_2 = \frac{11 - 13}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} \)

অতএব, \( b \) এর মান \( 2 \) অথবা \( -\frac{1}{6} \)। 🎉