ঘনকের আয়তন নির্ণয় 🎲

দেওয়া আছে, ঘনকের তিনটি পার্শ্ব বাহু:

• \( \vec{OA} = 2\hat{i} - 3\hat{j} \)
• \( \vec{OB} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k} \)
• \( \vec{OC} = 3\hat{i} - \hat{k} \)

ঘনকের আয়তন নির্ণয়ের জন্য আমাদের এই তিনটি ভেক্টরের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট (scalar triple product) বের করতে হবে। স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট হলো:

\( V = |\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})| \)

প্রথমে, \(\vec{OB} \times \vec{OC}\) নির্ণয় করি:

\( \vec{OB} \times \vec{OC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix} \)

\( = \hat{i}((-1) \times (-1) - (-1) \times 0) - \hat{j}(1 \times (-1) - (-1) \times 3) + \hat{k}(1 \times 0 - (-1) \times 3) \)

\( = \hat{i}(1 - 0) - \hat{j}(-1 + 3) + \hat{k}(0 + 3) \)

\( = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \)

এখন, \(\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})\) নির্ণয় করি:

\( \vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) = (2\hat{i} - 3\hat{j}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) \)

\( = (2 \times 1) + (-3 \times -2) + (0 \times 3) \)

\( = 2 + 6 + 0 \)

\( = 8 \)

অতএব, ঘনকের আয়তন:

\( V = |\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})| = |8| = 8 \)

সুতরাং, ঘনকের আয়তন 8 ঘন একক। 🤔 প্রদত্ত উত্তরটি সঠিক নয়।