m ও n এর মান যথাক্রমে \( \left( \frac{-6}{5} \right) \) ও \( \left( \frac{-5}{2} \right) \) হলে, নিচের কোন দুটি ভেক্টর পরস্পর সমান্তরাল ?

Another Explanation (5): প্রথমে, ভেক্টর গুলির মান দেওয়া হয়েছে: \( m = \frac{-6}{5} \) \( n = \frac{-5}{2} \) ভেক্টরগুলো হলো: \[ \vec{A} = (5\hat{i} - 3\hat{j} + n\hat{k}) = \left( 5, -3, \frac{-5}{2} \right) \] \[ \vec{B} = (2\hat{i} + m\hat{j} - \hat{k}) = \left( 2, \frac{-6}{5}, -1 \right) \] দুটি ভেক্টর পরস্পর সমান্তরাল হলে, তাদের ডট বা ক্রস প্রোডাক্টের মধ্যে নির্দিষ্ট সম্পর্ক থাকবে। সাধারণত, দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে তাদের ক্রস প্রোডাক্ট শূন্য হবে। অর্থাৎ, \[ \vec{A} \times \vec{B} = \vec{0} \] এখন, ক্রস প্রোডাক্টের উপাদানগুলো বের করি: \[ \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -3 & \frac{-5}{2} \\ 2 & \frac{-6}{5} & -1 \end{vmatrix} \] এটি সমাধান করি: \[ \vec{A} \times \vec{B} = \hat{i} \left( (-3) \times (-1) - \left( \frac{-5}{2} \times \frac{-6}{5} \right) \right) - \hat{j} \left( 5 \times (-1) - \left( \frac{-5}{2} \times 2 \right) \right) + \hat{k} \left( 5 \times \frac{-6}{5} - (-3) \times 2 \right) \] প্রতিটি উপাদান সমাধান করি: 1. \(\hat{i}\) উপাদান: \[ (-3) \times (-1) = 3 \] \[ \frac{-5}{2} \times \frac{-6}{5} = \frac{-5 \times -6}{2 \times 5} = \frac{30}{10} = 3 \] সুতরাং, \[ \hat{i} \left( 3 - 3 \right) = 0 \] 2. \(\hat{j}\) উপাদান: \[ 5 \times (-1) = -5 \] \[ \frac{-5}{2} \times 2 = -5 \] সুতরাং, \[ - \hat{j} \left( -5 - (-5) \right) = - \hat{j} (0) = 0 \] 3. \(\hat{k}\) উপাদান: \[ 5 \times \frac{-6}{5} = -6 \] \[ (-3) \times 2 = -6 \] সুতরাং, \[ \hat{k} ( -6 - (-6) ) = \hat{k} (0) = 0 \] সব উপাদান শূন্য হয়েছে, অর্থাৎ, \[ \vec{A} \times \vec{B} = \vec{0} \] এবং ভেক্টরগুলো পরস্পর সমান্তরাল। **উত্তর:** \[ \boxed{ (5\hat{i} - 3\hat{j} + n\hat{k}) \text{ এবং } (2\hat{i} + m\hat{j} - \hat{k}) } \] এই দুই ভেক্টর পরস্পর সমান্তরাল।