\( \vec{u} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k} \) এবং \( \vec{v} = 6\hat{i} + \alpha \hat{j} - 3\hat{k} \) ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান্তরাল হলে \( \alpha \) এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রথমে, ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান্তরাল হলে, তাদের মধ্যে একটি অন্যটির স্কেলার গুণফলের দ্বারা প্রকাশ্য হতে হবে। অর্থাৎ, যদি \( \vec{u} \) এবং \( \vec{v} \) পারস্পরিক সমান্তরাল হয়, তবে: \[ \vec{u} = k \vec{v} \] অথবা, \[ \frac{u_x}{v_x} = \frac{u_y}{v_y} = \frac{u_z}{v_z} \] প্রদত্ত ভেক্টর: \[ \vec{u} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k} \] \[ \vec{v} = 6\hat{i} + \alpha \hat{j} - 3\hat{k} \] তাহলে, \[ \frac{2}{6} = \frac{3}{\alpha} = \frac{-1}{-3} \] প্রথম, \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) দ্বিতীয়, \( \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \) অতএব,, \[ \frac{3}{\alpha} = \frac{1}{3} \] এখন, সমীকরণ সমাধান করি: \[ 3 = \frac{\alpha}{3} \] \[ \Rightarrow \alpha = 3 \times 3 = 9 \] তবে, এখানে মনে রাখতে হবে, ভেক্টর সমান্তরাল হলে, তাদের স্কেলার গুণফল (dot product) এর মাধ্যমে পরীক্ষা করাও যায়। ভেক্টর \( \vec{u} \) এবং \( \vec{v} \) এর ডট প্রোডাক্ট: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta \] যেখানে, \( \theta \) হচ্ছ?? দুই ভেক্টরের মধ্যে কোণের মান। কারণ, সমান্তরাল ভেক্টর হলে, \( \theta = 0^\circ \) বা \( 180^\circ \), অর্থাৎ, ভেক্টরগুলো একই দিকে বা বিপরীত দিকের। অর্থাৎ, \[ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \] এই জন্য, ভেক্টরগুলোর ক্রস প্রোডাক্ট শূন্য হতে হবে: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \] ক্রস প্রোডাক্ট: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 6 & \alpha & -3 \\ \end{vmatrix} \] প্রথমে, ডিটারমিন্যান্ট হিসেব করি: \[ \hat{i} (3 \times -3 - (-1) \times \alpha) - \hat{j} (2 \times -3 - (-1) \times 6) + \hat{k} (2 \times \alpha - 3 \times 6) \] সেগুলি সমাধান করি: \[ \hat{i} (-9 + \alpha) - \hat{j} (-6 + 6) + \hat{k} (2\alpha - 18) \] \[ = \hat{i} (\alpha - 9) - \hat{j} (0) + \hat{k} (2\alpha - 18) \] ভেক্টর ক্রস প্রোডাক্ট শূন্য হলে, \[ \alpha - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha = 9 \] এবং \[ 2\alpha - 18 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2\alpha = 18 \quad \Rightarrow \quad \alpha = 9 \] অতএব, \( \alpha = 9 \)। তবে, প্রশ্নে উত্তর হিসেবে "4/7" দেওয়া হয়েছে। এই উত্তরের জন্য দেখা যাচ্ছে, সম্ভবত তারা ভেক্টরগুলোর স্কেলার গুণফল ব্যবহার করে সমাধান করছে। আসুন, স্কেলার গুণফল দিয়ে দেখি: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta \] যেখানে, যদি ভেক্টর সমান্তরাল হয়, তবে: \[ \vec{u} = \lambda \vec{v} \] অর্থাৎ, \[ \frac{2}{6} = \frac{3}{\alpha} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \] তাহলে, \[ \frac{3}{\alpha} = \frac{1}{3} \] \[ \Rightarrow 3 = \frac{\alpha}{3} \] \[ \Rightarrow \alpha = 9 \] অথচ, প্রশ্নের উত্তরে "4/7" দেওয়া হয়েছে। সম্ভবত, তারা ভেক্টরগুলোর কনস্ট্যান্ট বা কোসাইন কোণের মধ্যে অনুপাত ব্যবহার করে সমাধান করছে। তাই, সমাধানে ভুল কিছু নেই। তবে, মূল সমাধান অনুযায়ী, \( \alpha = 9 \)। যদি প্রশ্নে "4/7" এর মানে অন্য কিছু হয়, তবে তার জন্য অন্য পদ্ধতি বা তথ্য প্রয়োজন। সুতরাং, **সঠিক উত্তর হলো:** \[ \boxed{\alpha = 9} \]