f(x)=sin2x  হলে –

i.  intf(x)dx=-(cos2x)/2+c 

ii.  intsqrt(1+f(x))dx=sinx-cosx+c 

iii.  int_0^(pi/2) sqrt(1-f(x))dx=0 

নিচের কোনটি সঠিক ?

Another Explanation (5): প্রথমে, দেওয়া ফাংশন \(f(x) = \sin 2x\) এর উপর ভিত্তি করে প্রতিটি ইন্টিগ্রাল সমাধান পর্যায়ক্রমে দেখব। --- **(i) \(\int f(x) dx = -\frac{\cos 2x}{2} + c\)** নির্ণয়: \[ \int \sin 2x \, dx \] উপরে, আমরা জানি: \[ \int \sin kx \, dx = -\frac{\cos kx}{k} + c \] সুতরাং, \[ \int \sin 2x \, dx = -\frac{\cos 2x}{2} + c \] অতএব, **(i) সঠিক**। --- **(ii) \(\int \sqrt{1 + f(x)} dx = \sin x - \cos x + c\)** নির্ণয়: \[ \int \sqrt{1 + \sin 2x} \, dx \] প্রথম, \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), তাই: \[ \sqrt{1 + 2 \sin x \cos x} \] ব্যবহার করি: \[ 1 + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 \] কারণ: \[ (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x \] অতএব, \[ \sqrt{1 + \sin 2x} = |\sin x + \cos x| \] এখন, \[ \int |\sin x + \cos x| \, dx \] যেহেতু \(x \in [0, \pi/2]\), সেখানে \(\sin x\) ও \(\cos x\) উভয়ই ধনাত্মক, তাই: \[ \sin x + \cos x \geq 0 \] অতএব, \[ \int (\sin x + \cos x) \, dx = -\cos x + \sin x + c \] এবং ইন্টিগ্রালটির ফলাফল: \[ \sin x - \cos x + c \] অতএব, **(ii) সঠিক**। --- **(iii) \(\int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - f(x)} dx = 0\)** নির্ণয়: \[ \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - \sin 2x} \, dx \] আমরা জানি, \[ 1 - \sin 2x = 1 - 2 \sin x \cos x \] প্রথমত, \(1 - \sin 2x\) এর মানের সীমা নির্ণয় করি। বিশ্লেষণ: \[ \sin 2x \in [0, 1] \quad \text{(যেহেতু \(x \in [0, \pi/2]\))} \] অতএব, \[ 1 - \sin 2x \in [0,1] \] এবং, \(\sqrt{1 - \sin 2x}\) অবশ্যই ধনাত্মক বা শূন্য। এখন, যখন \(\sin 2x = 1\), তখন \(\sqrt{1 - 1} = 0\), অর্থাৎ, \(x = \pi/4\)। অতএব, ইন্টিগ্রালটি: \[ \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - \sin 2x} \, dx \] এটি শূন্যের সমান নয়, কারণ এর মান শূন্যের কাছাকাছি নয় (প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন অংশের জন্য)। বিশেষ করে, \(\sqrt{1 - \sin 2x}\) ইন্টিগ্রালের মান শূন্যের সমান হওয়া অসম্ভব, কারণ এই ফাংশনের মান কমপক্ষে 0 এবং সর্বোচ্চ 1। সুতরাং, ইন্টিগ্রালটির মান 0 নয়, বরং এটি একটি ধনাত্মক মান হবে। অতএব, **(iii) ভুল**। --- ### **উপসংহার**: - (i) সঠিক - (ii) সঠিক - (iii) ভুল সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: **"i ও ii"**। --- **সম্পূর্ণ সমাধান HTML-এ:** ```html

প্রথমে, দেওয়া ফাংশন f(x) = sin 2x এর উপর ভিত্তি করে প্রতিটি ইন্টিগ্রাল সমাধান পর্যায়ক্রমে দেখব।

(i) ∫ f(x) dx = - (cos 2x) / 2 + c

নির্ণয়:

∫ sin 2x dx

উপরে, আমরা জানি:

∫ sin kx dx = - (cos kx) / k + c

সুতরাং,

∫ sin 2x dx = - (cos 2x) / 2 + c

অতএব, (i) সঠিক।

(ii) ∫ √(1 + f(x)) dx = sin x - cos x + c

নির্ণয়:

∫ √(1 + sin 2x) dx

প্রথম, sin 2x = 2 sin x cos x, তাই:

√(1 + 2 sin x cos x)

ব্যবহার করি:

1 + 2 sin x cos x = (sin x + cos x)^2

কারণ:

(sin x + cos x)^2 = sin^2 x + 2 sin x cos x + cos^2 x = 1 + 2 sin x cos x

অতএব,

√(1 + sin 2x) = |sin x + cos x|

এখন, x ∈ [0, π/2], সেখানে \(\sin x \geq 0\) ও \(\cos x \geq 0\), তাই:

|sin x + cos x| = sin x + cos x

অতএব,

∫ (sin x + cos x) dx = - cos x + sin x + c

অতএব, ফলাফল: sin x - cos x + c। (ii) সঠিক।

(iii) ∫_0^{π/2} √(1 - f(x)) dx = 0

নির্ণয়:

∫_0^{π/2} √(1 - sin 2x) dx

আমরা জানি,

1 - sin 2x = 1 - 2 sin x cos x

প্রথমত, 1 - sin 2x এর মানের সীমা নির্ণয় করি:

sin 2x ∈ [0, 1], তাই 1 - sin 2x ∈ [0, 1]

এবং, √(1 - sin 2x) ধনাত্মক বা শূন্য। যখন \(\sin 2x = 1\), তখন √(1 - 1) = 0। কেবলমাত্র x = \(\pi/4\) এ। এবং, এই ইন্টিগ্রালের মান শূন্যের সমান নয়, বরং এটি একটি ধনাত্মক মান। অতএব, (iii) ভুল। --- ### **উপসংহার:** - (i) সঠিক - (ii) সঠিক - (iii) ভুল সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: **"i ও ii"**। ```