f(x)=(1-cosx)/(1+cosx) হলে, f'(x) এর মান কত?
সঠিক উত্তরঃ
C.
tan(x/2)sec^2(x/2)
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(f(x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}\) হলে, \(f'(x)\) এর মান কত?
উত্তর: \(f'(x) = \tan \left(\frac{x}{2}\right) \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right)\)
প্রথমে, \(f(x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}\)
এখানে, আমরা উপরের ফাংশনের ডেরিভেটিভ বের করব।
প্রথমে, \(\cos x\) এর ডেরিভেটিভ জানা আছে: \(\frac{d}{dx} (\cos x) = - \sin x\)
ফাংশনটি দুটি ভাগের রূপে থাকায়, আমরা কোটিয়ান এর সূত্র বা লোৎশিটসের নিয়ম ব্যবহার করব।
তাই, \(f(x)\) কে লিখি:
\[
f(x) = \frac{u}{v} \quad \text{যেখানে} \quad u = 1 - \cos x, \quad v = 1 + \cos x
\]
ডেরিভেটিভ:
\[
f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]
এখানে,
\[
u' = \frac{d}{dx} (1 - \cos x) = \sin x
\]
\[
v' = \frac{d}{dx} (1 + \cos x) = - \sin x
\]
সুতরাং,
\[
f'(x) = \frac{\sin x (1 + \cos x) - (1 - \cos x)(- \sin x)}{(1 + \cos x)^2}
\]
এখানে,
\[
f'(x) = \frac{\sin x (1 + \cos x) + (1 - \cos x) \sin x}{(1 + \cos x)^2}
\]
উপরের টার্মগুলো যোগ করলে,
\[
f'(x) = \frac{\sin x [(1 + \cos x) + (1 - \cos x)]}{(1 + \cos x)^2}
\]
সুতরাং,
\[
f'(x) = \frac{\sin x [1 + \cos x + 1 - \cos x]}{(1 + \cos x)^2}
\]
\[
f'(x) = \frac{\sin x (2)}{(1 + \cos x)^2}
\]
অর্থাৎ,
\[
f'(x) = \frac{2 \sin x}{(1 + \cos x)^2}
\]
এখন, half-angle substitution ব্যবহার করে, \(\cos x\) ও \(\sin x\) এর রূপান্তর করব:
\[
\cos x = \frac{1 - \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)}
\]
\[
\sin x = \frac{2 \tan (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)}
\]
এবং,
\[
1 + \cos x = 1 + \frac{1 - \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)} = \frac{(1 + \tan^2 (x/2)) + (1 - \tan^2 (x/2))}{1 + \tan^2 (x/2)} = \frac{2}{1 + \tan^2 (x/2)}
\]
অতএব,
\[
(1 + \cos x)^2 = \left(\frac{2}{1 + \tan^2 (x/2)}\right)^2 = \frac{4}{(1 + \tan^2 (x/2))^2}
\]
এবং,
\[
f'(x) = \frac{2 \times \frac{2 \tan (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)}}{\frac{4}{(1 + \tan^2 (x/2))^2}}
\]
প্রথমে, উভয় অংশের উপরে ও নিচে মানগুলি গুণ করি:
\[
f'(x) = \frac{2 \times 2 \tan (x/2) \times (1 + \tan^2 (x/2))^2}{(1 + \tan^2 (x/2)) \times 4}
\]
সরলীকরণ করি:
\[
f'(x) = \frac{4 \tan (x/2) (1 + \tan^2 (x/2))^2}{4 (1 + \tan^2 (x/2))}
\]
অতএব,
\[
f'(x) = \tan (x/2) \times (1 + \tan^2 (x/2))
\]
এখন, \(\sec^2 (x/2) = 1 + \tan^2 (x/2)\)
অতএব,
\[
f'(x) = \tan (x/2) \sec^2 (x/2)
\]
**উত্তর:** \(\boxed{\tan \left(\frac{x}{2}\right) \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right)}\)