y=sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+..........))) হলে dy/dx = কত ?

ধরা যাক,

\( y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \dots}}} \)

এখন, যেহেতু এই ধারা অসীম, তাই আমরা এই সমীকরণটি পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে লিখতে পারি:

\( y = \sqrt{x + y} \)

এখন, উভয় পাশে স্কয়ার করি:

\( y^2 = x + y \)

এখন, এই সমীকরণ থেকে \( x \) এর মান নির্ণয় করি:

\( x = y^2 - y \)

অতএব, \( x \) এর পরিবর্তে \( y \) এর একটি ফাংশন পেয়েছি। এখন, এই সমীকরণ থেকে \( y \) এর উপর \( x \) এর ডেরিভেটিভ নির্ণয় করি:

প্রথমত, উভয় পাশে ডেরিভেট করুন \( x \) এর সাথে:

\( \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(x + y) \)

এখানে, চেইন রুল প্রয়োগ করে:

\( 2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx} \)

এখন, \( \frac{dy}{dx} \) কে একপাশে আনুন:

\( 2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1 \)

ফ্যাক্টর দ্বারা বিভাজন করুন:

\( \left(2y - 1\right) \frac{dy}{dx} = 1 \)

অতএব,

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1} \)

অতএব, উত্তর হলো:

\( \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1}} \)