y=1/x হলে, y_n= কত?

Explanation:

Another Explanation (5): y = \(\frac{1}{x}\) হলে, \(y_n\) নির্ণয়: প্রথমে কয়েকটি অন্তরকলজ বের করি: \(y = x^{-1}\) \(y_1 = -1 \cdot x^{-2} = \frac{-1}{x^2}\) \(y_2 = (-1)(-2) x^{-3} = \frac{2}{x^3}\) \(y_3 = (-1)(-2)(-3) x^{-4} = \frac{-6}{x^4}\) \(y_4 = (-1)(-2)(-3)(-4) x^{-5} = \frac{24}{x^5}\) এখন, আমরা \(y_n\) এর সাধারণ রূপ বের করার চেষ্টা করি: \(y_n = \frac{(-1)^n \cdot n!}{x^{n+1}}\) ⭐ প্রমাণ (গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি ব্যবহার করে): ১. ভিত্তি ধাপ (Base Case): n = 1 এর জন্য, \(y_1 = \frac{(-1)^1 \cdot 1!}{x^{1+1}} = \frac{-1}{x^2}\), যা সঠিক। ✅ ২. আরোহ অনুমান (Inductive Hypothesis): ধরি \(n = k\) এর জন্য এটি সত্য। অর্থাৎ, \(y_k = \frac{(-1)^k \cdot k!}{x^{k+1}}\) ৩. আরোহ ধাপ (Inductive Step): \(n = k + 1\) এর জন্য প্রমাণ করতে হবে: \(y_{k+1} = \frac{(-1)^{k+1} \cdot (k+1)!}{x^{k+2}}\) আমরা জানি, \(y_{k+1} = \frac{d}{dx} (y_k)\) সুতরাং, \(y_{k+1} = \frac{d}{dx} \left( \frac{(-1)^k \cdot k!}{x^{k+1}} \right)\) \(y_{k+1} = (-1)^k \cdot k! \cdot \frac{d}{dx} (x^{-(k+1)})\) \(y_{k+1} = (-1)^k \cdot k! \cdot (-(k+1)) x^{-(k+1)-1}\) \(y_{k+1} = (-1)^k \cdot k! \cdot (-(k+1)) x^{-(k+2)}\) \(y_{k+1} = (-1)^{k+1} \cdot (k+1)! \cdot x^{-(k+2)}\) \(y_{k+1} = \frac{(-1)^{k+1} \cdot (k+1)!}{x^{k+2}}\) সুতরাং, \(n = k + 1\) এর জন্য এটি সত্য। 🥳 অতএব, গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি অনুসারে, সকল \(n\) এর জন্য: \(y_n = \frac{(-1)^n \cdot n!}{x^{n+1}}\) 💖